[논문 리뷰] Novel convex decomposition of piecewise affine functions

Nils Schlüter, Moritz Schulze Darup|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 09.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 연속적인 조각별 애프라인(PWA) 함수를 동일한 복잡도를 가진 두 개의 볼록 PWA 함수로 분해하기 위한 최적화 기반의 새로운 방법을 제안한다. 기존의 방법들이 높거나 비균형적인 복잡도를 야기하는 데 반해, 이 방법은 모든 경우에 적용 가능하며 명시적 모델 예측 제어(explicit MPC) 응용에서 계산 오버헤드를 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we present a novel approach to decompose a given piecewise affine (PWA) function into two convex PWA functions. Convex decompositions are useful to speed up or distribute evaluations of PWA functions. Different approaches to construct a convex decomposition have already been published. However, either the two resulting convex functions have very high or very different complexities, which is often undesirable, or the decomposition procedure is inapplicable even for simple cases. Our novel methodology significantly reduces these drawbacks in order to extend the applicability of convex decompositions.

연구 동기 및 목표

• 기존의 조각별 애프라인(PWA) 함수를 위한 볼록 분해 방법의 한계를 해결하기 위해, 종종 높거나 비균형적인 복잡도를 초래하는 문제를 다루는 것.
• 복잡한 PWA 함수에서 기존 방법이 실패하거나 계산적으로 비가능해지는 경우에도 항상 적용 가능한 방법을 개발하는 것.
• 볼록 분해의 이점—예를 들어 더 빠른 평가와 메모리 사용 감소—을 유지하면서도 두 볼록 성분의 복잡도가 유사하도록 보장하는 것.
• 명시적 모델 예측 제어(MPC)에서 PWA 함수가 흔하고 평가 효율성이 중요한 응용에서 실용적 이점을 입증하는 것.

제안 방법

• PWA 함수 $ f(oldsymbol{x}) $ 를 $ g(oldsymbol{x}) - h(oldsymbol{x}) $ 로 분해하는 방법을 제안하며, 여기서 $ g $ 와 $ h $ 는 모두 볼록 PWA 함수이다.
• 최적화 기반 접근을 사용하여 $ g $ 와 $ h $ 를 구성함으로써, 볼록 접힘 또는 초평면 배열 방법에서 볼 수 있는 높은 복잡도를 피할 수 있도록 기초 파artition의 크기가 균형을 이루도록 한다.
• 기본 파artition $ igcup_{i=1}^s ilde{oldsymbol{X}}_i $ 의 체계적 정밀화를 바탕으로, $ g $ 와 $ h $ 의 다면체 세그먼트 수를 최소화하고 동일하게 유지한다.
• 이 방법은 이전 방법이 실패하는 경우—예를 들어 겹치는 또는 복잡한 다면체 영역이 존재하는 경우—에도 항상 적용 가능하도록 설계되어 있다.
• 볼록 PWA 함수는 최댓값-애프라인 표현을 통해 효율적으로 평가될 수 있음을 활용하여, 병렬 또는 분산 계산을 통해 더 빠른 평가를 가능하게 한다.
• 다양한 예측 수명 $ N $ 을 가진 명시적 MPC 벤치마크를 사용하여 분해를 검증하며, 결과 파artition의 복잡도를 측정하고 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 볼록 성분의 복잡도가 동일하고 최소가 되도록 PWA 함수의 볼록 분해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 기존 방법이 실패하거나 수치적으로 해석 불가능해지는 경우에도 항상 적용 가능한 분해 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ3 기존의 방법들인 볼록 접힘과 초평면 배열 방법과 비교할 때, 제안된 방법의 계산 복잡도와 평가 효율성은 어떠한가?
• RQ4 제안된 분해 방법이 명시적 MPC 응용에서 평가 시간과 메모리 사용을 어느 정도 감소시킬 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 두 볼록 성분 $ g $ 와 $ h $ 에 대해 동일한 복잡도를 달성하며, $ N = 10 $ 에서는 339개의 다면체 세그먼트를 기록했고, 이는 볼록 접힘 방법의 105,581개 및 106,697개보다 훨씬 낮은 수준이다.
• $ N = 15 $ 에서는 신규 분해의 총 복잡도(694개 세그먼트)가 볼록 접힘 방법(803개 세그먼트)보다 낮아, 훨씬 뛰어난 효율성을 보여준다.
• 참고 문헌 [5]의 최적화 기반 방법은 $ N > 1 $ 에서는 실용적이지 않으며, 초평면 배열 정규화를 요구하여 $ N = 15 $ 에서 복잡도가 26,786개 세그먼트로 증가한다.
• 명시적 MPC 사례 연구에서 평가 시간은 10배 감소했고, 저장 용량은 16배 감소했으며, 이는 $ g $ 와 $ h $ 의 효율적 최댓값-애프라인 평가 덕분이었다.
• 이 방법은 이전 방법이 실패하거나 매우 비균형적인 분해를 생성하는 복잡한 PWA 함수에 대해서도 항상 적용 가능하다.
• 이 분해 방법은 최댓값-애프라인 계산을 통해 더 빠른 평가를 가능하게 하여, 명시적 MPC에서 기존의 이진 탐색 트리 방법을 능가한다.