[논문 리뷰] Novel differential quadrature element method for higher order strain gradient elasticity theory

Md. Ishaquddin, S. Gopalakrishnan|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 11.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 39인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 라그랑주 보간을 기반으로 한 새로운 미분구적요소법을 제안하여 비틀림 강성 이론에서의 6차 편미분방정식을 해석한다. 영역 내에서 변위만을 유일한 자유도로 간주하고 경계에서의 경사와 곡률을 수정된 가중계수를 통해 통합함으로써, 비고전적 경계 조건을 효율적으로 처리하며, 다양한 경계 조건에서의 강성 이론 기반 비틀림 빔과 플레이트의 정적 해석에서 높은 정확도를 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel and efficient differential quadrature element based on Lagrange interpolation to solve a sixth order partial differential equations encountered in non-classical beam theories. These non-classical theories render displacement, slope and curvature as degrees of freedom for an Euler-Bernoulli beam. A generalize scheme is presented herein to implementation the multi-degrees degrees of freedom associated with these non-classical theories in a simplified and efficient way. The proposed element has displacement as the only degree of freedom in the domain, whereas, at the boundaries it has displacement, slope and curvature. Further, we extend this methodology and formulate two novel versions of plate element for gradient elasticity theory. In the first version, Lagrange interpolation is assumed in $x$ and $y$ directions and the second version is based on mixed interpolation, with Lagrange interpolation in $x$ direction and Hermite interpolation in $y$ direction. The procedure to compute the modified weighting coefficients by incorporating the classical and non-classical boundary conditions is explained. The efficiency of the proposed elements is demonstrated through numerical examples on static analysis of gradient elastic beams and plates for different boundary conditions.

연구 동기 및 목표

• 비틀림 강성 이론에 기반한 비고전적 빔 및 플레이트 이론에서 발생하는 6차 편미분방정식을 해결하는 데 도전하는 것.
• 고차 연속체 이론에서 다중 자유도 시스템(변위, 경사, 곡률)을 단순화하고 효율적으로 구현하는 것.
• 새로운 공식화 방식을 도입하여 미분구적요소법(DQEM)을 강성 이론으로 확장하는 것.
• 수정된 가중계수를 통해 고전적 및 비고전적 경계 조건을 일반화된 프레임워크로 구현하는 것.
• 다양한 하중 및 지지 조건에서 빔과 플레이트에 대한 포괄적인 수치 기준을 통해 제안된 요소의 정확성과 효율성을 검증하는 것.

제안 방법

• 라그랑주 보간을 사용하여 새로운 미분구적빔요소를 구성하였으며, 영역 내에서 변위만을 자유도로 간주하고 경계에서 변위, 경사 및 곡률을 자유도로 설정하였다.
• 두 가지 새로운 플레이트 요소 공식화를 개발하였다: x 및 y 방향 모두에서 라그랑주 보간을 사용한 것(SgDQE-LL)과 x에서 라그랑주, y에서 에르미트 보간을 혼합한 것(SgDQE-LH)으로, C² 연속성을 확보하였다.
• 고전적 및 비고전적 경계 조건을 직접 요소 공식화에 통합하기 위해 수정된 가중계수를 계산하는 일반화된 절차를 도입하였다.
• 이 방법은 미분구적 기법을 활용하여 고유의 6차 편미분방정식을 이산화함으로써 고정밀 수치 해를 도출할 수 있도록 하였다.
• 수치 예제에서 점하중을 정확하게 모델링하기 위해 디라크 델타 함수를 사용하였다.
• 균일 하중 및 점하중 하에서 강성 이론 기반 빔과 플레이트의 정적 해석을 통해 제안된 공식화를 검증하였으며, 결과는 해석적 및 기존 수치 해와 비교되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 빔과 플레이트의 강성 이론 기반 6차 편미분방정식을 효율적으로 해석할 수 있는가?
• RQ2 고차 빔 및 플레이트 모델에서 다중 자유도(변위, 경사, 곡률)를 처리하기 위해 가장 효과적인 보간 전략은 무엇인가?
• RQ3 DQEM 프레임워크의 가중계수 계산에 고전적 및 비고전적 경계 조건을 일관되고 정확하게 통합하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 제안된 방법이 다양한 경계 조건과 척도 파rameter 하에서 강성 이론 기반 구조물에 대해 정확성과 수렴성을 얼마나 유지하는가?
• RQ5 SgDQE-LL 및 SgDQE-LH 공식화는 강성 이론 기반 빔과 플레이트의 정적 해석에서 성능과 정확도 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 SgDQE-LL 및 SgDQE-LH 요소는 균일 하중 하에서 강성 플레이트에 대해 해석적 해와 뛰어난 일치를 보이며, g/lx = 0.00001일 때 도막 변형 및 곡률에 대해 상대 오차가 0.1% 미만이었다.
• 중앙 점하중 하에서 CFCF, SFSF 및 SFCF 플레이트에 대해 SgDQE-LL 및 SgDQE-LH 결과는 g/lx = 0.00001일 때 고전적 해와 밀접한 일치를 보였으며, 높은 척도 파rameter에서 상호 간에도 유사한 결과를 보였다.
• 원통형 굽힘 하에서, 두 요소의 최대 도막 변형 결과는 g/lx 값이 0.5일 때까지 분석적 해와 1% 이내 오차로 일치하였다.
• 특히 g/lx = 0.5일 때, CFFF 및 SSSS 조건 하에서 SgDQE-LH 요소가 SgDQE-LL 요소보다 약간 더 높은 정확도를 보이며 고차 모멘트 및 도막 변형에 대해 유리했다.
• 이 방법은 척도 효과를 성공적으로 포착하였으며, g/lx가 0.00001에서 0.5로 증가함에 따라 도막 변형이 크게 감소하는 것으로 나타나 강성 이론의 이론적 기대와 일치하였다.
• 수정된 가중계수 접근법을 통해 추가 자유도 없이도 비고전적 경계 조건을 정확하게 적용할 수 있었으며, 이는 계산 효율성을 향상시켰다.