[논문 리뷰] Novel results on trapped surfaces

José M. M. Senovilla|arXiv (Cornell University)|2003. 11. 03.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 평균 곡률 벡터의 인과적 성격을 사용하여 임의의 코드림이수의 갇힌 부분다양체를 통합적인 기하학적 정의로 제시하고, 대칭성(예: 카일링 벡터)과 갇힘 사이의 일반적인 기하학적 제약 조건을 수립한다. 이는 정적 시공간이 어떤 코드림이수이든 간에 닫힌 갇힌 또는 경계 갇힌 부분다양체를 포함할 수 없음을 증명하며, 유도된 1-form의 노름을 통한 코드림이수 2의 표면에 대한 갇힘을 판단하는 단순한 기준을 제공한다.

ABSTRACT

A unifying definition of trapped submanifold for arbitrary codimension by means of its mean curvature vector is presented. Then, the interplay between (generalized) symmetries and trapped submanifolds is studied, proving in particular that (i) stationary spacetimes cannot contain closed trapped nor marginally trapped submanifolds S of any codimension; (ii) S can be within the subset where there is a null Killing vector only if it is marginally trapped with mean curvature vector parallel to the null Killing; (iii) any submanifold orthogonal to a timelike or null Killing vector has a mean curvature vector orthogonal to it. All results are purely geometric, hold in arbitrary dimension, and can be appropriately generalized to many non-Killing vector fields, such as conformal Killing vectors and the like. A simple criterion to ascertain the trapping or not of a family of codimension-2 submanifolds is given. A path allowing to generalize the singularity theorems is conjectured as feasible and discussed.

연구 동기 및 목표

• 평균 곡률 벡터의 인과적 성격을 사용하여 임의의 코드림이수에 적용 가능한 갇힌 부분다양체의 통합적이고 기하학적인 정의를 제공하는 것.
• 일반 시공간에서 부분다양체의 갇힘 성질과 대칭성—특히 카일링 벡터—사이의 상호작용을 조사하는 것.
• 시간적 또는 영벡터 카일링 벡터를 가진 시공간에서 갇힌 또는 경계 갇힌 부분다양체의 존재에 대한 일반적인 기하학적 제약 조건을 유도하는 것.
• 지역 기하학적 구성 방법을 사용하여 코드림이수 2의 표면에 대한 갇힘 기준을 일반 시공간으로 일반화하는 것.
• 갇힌 부분다양체의 기하학적 구조를 바탕으로 고전적 특이점 정리의 일반화를 위한 실현 가능한 길을 제안하는 것.

제안 방법

• 평균 곡률 벡터 $\vec{H} = \gamma^{AB}\vec{K}_{AB}$의 인과적 성격을 통해 갇힌 부분다양체를 정의한다. 여기서 $\vec{K}_{AB}$는 외적 곡률 벡터이다.
• 카일링 대칭성을 평균 곡률 벡터와 연결하기 위해 항등식 $\frac{1}{2}\gamma^{AB}(\mathcal{L}_{\vec{\xi}}g)|_S(\vec{e}_A,\vec{e}_B) = \overline{\nabla}_C\overline{\xi}^C + (\vec{\xi} \cdot \vec{H})|_S$ 를 사용한다.
• 가우스 정리를 적용하여 닫힌 부분다양체 위에서 $\vec{\xi} \cdot \vec{H}$ 를 적분함으로써, $\vec{\xi}$ 가 카일링 벡터일 경우 $\int_S (\vec{\xi} \cdot \vec{H}) \, \boldsymbol{\eta}_S = 0$ 임을 보인다.
• 평균 곡률 1-form $H_\mu = \delta^a_\mu (U_{,a} - \text{div}\,\vec{g}_a)|_{S_{X^a}}$ 의 노름을 사용하여 코드림이수 2의 표면에 대한 갇힘 기준을 유도한다. 여기서 $e^U = \sqrt{\det g_{AB}}$ 이다.
• 닫힘 성격을 평가하기 위해 $\vec{H}$ 의 인과적 성격을 판단하기 위해 $g^{bc}|_{S_{X^a}} (U_{,b} - \text{div}\,\vec{g}_b)(U_{,c} - \text{div}\,\vec{g}_c)$ 를 구성한다.
• 구체적인 예제(예: 원통대칭 시공간)에서 기준을 검증하여 기존의 특이점과 지선형 완전성과의 일관성을 시험한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 코드림이수에 적용 가능한 갇힌 부분다양체의 통합적 기하학적 정의를 제시할 수 있는가?
• RQ2 정적 시공간이 어떤 코드림이수이든 간에 닫힌 갇힌 또는 경계 갇힌 부분다양체를 포함할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 특히 카일링 벡터를 통해 부분다양체의 갇힘 성질은 어떻게 제약을 받는가?
• RQ4 임의의 시공간에서 코드림이수 2의 부분다양체의 가족이 갇혀 있는지를 판단할 수 있는 일반적이고 계산 가능한 기준은 무엇인가?
• RQ5 갇힌 부분다양체의 기하학적 구조는 고전적 특이점 정리의 일반화에 어떻게 기여할 수 있는가?

주요 결과

• 정적 시공간은 카일링 벡터 $\vec{\xi}$ 에 대해 $\int_S (\vec{\xi} \cdot \vec{H}) \, \boldsymbol{\eta}_S$ 가 0이 되므로, 어떤 코드림이수이든 간에 닫힌 갇힌 또는 경계 갇힌 부분다양체를 포함할 수 없다.
• 부분다양체 $S$ 가 영벡터 카일링 벡터의 영역 내에 있을 수 있는 조건은, 그것이 경계 갇힌이면서 평균 곡률 벡터가 그 영벡터 카일링 벡터와 평행해야 한다는 것이다.
• 시간적 또는 영벡터 카일링 벡터 $\vec{\xi}$ 와 수직인 모든 부분다양체는 평균 곡률 벡터도 $\vec{\xi}$ 와 수직이 되며, 이는 외적 곡률의 흔적을 통해 유도된다.
• 코드림이수 2의 부분다양체의 경우, 기준 $g^{bc}|_{S_{X^a}} (U_{,b} - \text{div}\,\vec{g}_b)(U_{,c} - \text{div}\,\vec{g}_c)$ 가 $\vec{H}$ 의 인과적 성격을 결정함으로써 갇힘 여부를 확인할 수 있다.
• 코드림이수 2의 표면에서 $T(t) = \sinh(at)$ 인 원통대칭 시공간에서는 특정 $t, \rho$ 에서 닫힌 갇힌 $\varphi$-원이 존재하며, 이는 시공간가 과거 지선형 불완전성과 빅뱅 특이점과 일관된다.
• 반면 $T(t) = \cosh(at)$ 인 경우, 모든 $\varphi$-원은 절대적으로 비간이므로, 지선형 완전성과 특이점의 부재와 일관된다.