[논문 리뷰] Nowhere differentiable functions with respect to the position

K. Kavvadias, Konstantinos G. Makridis|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 17.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 및 비유계 도메인 $ \Omega \subset \mathbb{C} $ 위에서 유리근사공간 $ R(\Omega) $ 내의 함수들에 대한 일반적인 이분법을 수립한다: $ R(\Omega) $ 내의 모든 일반 함수들이 경계 $ \partial\Omega $ 위의 각 점에서 미분 가능하지 않거나, 그러한 함수가 전혀 존재하지 않는다. 핵심 결과는 이러한 함수들의 집합이 $ R(\Omega) $ 내에서 공집합이거나 $ G_\delta $-조밀하다는 것이다. 이는 바이어 분류 이론과 등각사상 기법을 통해 증명된다.

ABSTRACT

Let $Ω$ be a bounded domain in $\mathbb{C}$ such that $\partial Ω$ does not contain isolated points. Let $R(Ω)$ be the space of uniform limits on $\overlineΩ$ of rational functions with poles off $\overlineΩ$, endowed with the supremum norm. We prove that either generically all functions $f$ in $R(Ω)$ satisfy % $$ \limsup_{\substack{z o z_0 z \in \partial Ω}} \Big| \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \Big| = + \infty $$ for every $z_0 \in \partial Ω$ or no such function in $R(Ω)$ meets this requirement. In the first case, the generic function $f \in R(Ω)$ is nowhere differentiable on $\partial Ω$ with respect to the position. We give specific examples where each case of the previous dichotomy holds. We also extend the previous result to unbounded domains.

연구 동기 및 목표

• 경계 $ \partial\Omega $ 에서의 위치에 대한 미분 가능성에 대해 $ R(\Omega) $ 내 함수들의 일반적 행동을 조사하는 것.
• $ z \to z_0 \in \partial\Omega $ 일 때 차분몫 $ \left| \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right| $ 가 발산하는 조건을 규명하는 것.
• 실수 매개변수화로부터 복소수 위치 기반의 미분 가능성으로의, 전연 미분 불능 함수에 대한 결과 확장.
• 이분법 수립: 이러한 함수들의 집합이 $ R(\Omega) $ 내에서 $ G_\delta $-조밀하거나 공집합이라는 것.
• 각 이분법의 경우가 성립하는 예시를 제공하며, 유계 및 비유계 도메인 모두 포함한다.

제안 방법

• 바이어 분류 정리를 사용하여, $ \overline{\Omega} $ 위에서 최대노름을 갖춘 바나흐 공간 $ R(\Omega) $ 내에서의 일반성 분석.
• 등각사상 $ \phi $ 를 적용하여 일반 도메인 $ \Omega $ 에서 단위원판 $ D $ 로 문제를 이행시키며, 해석적 구조를 유지한다.
• 해석적 함수와 그 도함수의 성질을 이용하여, $ \partial\Omega $ 상에서 $ z_n \to z_0 $ 가 되는 수열 $ z_n $ 을 구성함으로써 차분몫이 발산하도록 한다.
• 모든 $ z_0 \in J $ 에 대해 $ \limsup_{z \to z_0, z \in J} \left| \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right| = +\infty $ 를 만족하는 함수 $ f \in R(\Omega) $ 의 집합으로서 $ S(\Omega, J) $ 를 정의한다.
• 유계가 아닌 도메인으로의 확장을 위해, $ \overline{\Omega} $ 의 컴acts부분집합에서의 유리함수의 균일한 극한으로 정의된 공간 $ \widetilde{R}(\Omega) $ 를 사용하며, 프레셰 위상 구조를 갖는다.
• 오즈굿–카라테오도리 정리를 사용하여, 조르당 도메인의 경우 경계 위의 위상동형을 보장함으로써, 원판에서의 결과를 더 일반적인 도메인으로 이행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계의 각 점 $ z_0 \in \partial\Omega $ 에서 차분몫이 발산하는 함수들의 집합이 $ R(\Omega) $ 내에서 비어 있지 않은 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 함수들의 집합이 $ R(\Omega) $ 내에서 일반적인가? 만약 그렇다면 어떤 위상적 의미에서인가?
• RQ3 위치 기반의 전연 미분 불능 현상은 단위원판에서 임의의 도메인, 비로소 비유계 도메인으로까지 확장 가능한가?
• RQ4 경계가 완전집합임에도 불구하고, $ R(\Omega) $ 내에서 이러한 발산 현상을 보이는 함수가 존재하지 않는 도메인이 존재하는가?
• RQ5 등각사상과 해석적 계산은 경계에서의 미분 가능성 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 경계 $ \partial\Omega $ 가 고립점이 없는 유계 도메인 $ \Omega $ 에 대해, 집합 $ S(\Omega, J) $ 는 공집합이거나 $ R(\Omega) $ 내에서 $ G_\delta $-조밀하다. 이는 일반적인 이분법을 수립한다.
• 집합 $ S(\Omega, J) $ 가 비어 있지 않은 경우, 일반 함수 $ f \in R(\Omega) $ 는 경계 $ \partial\Omega $ 에서 위치에 대해 전연 미분 가능하지 않으며, 각 경계점에서 차분몫이 발산한다.
• 예시로 $ \Omega = D \setminus [0, \frac{1}{2}] $ 인 경우, 슬릿을 따라 해석적 연장이 가능하므로 $ S(\Omega, \partial\Omega) = \emptyset $ 가 되며, 유한한 도함수 극한이 존재함을 의미한다.
• 다른 예시로 $ \Omega = \{ z : \operatorname{Re}(z) > 0 \} \setminus [1, \infty) $ 인 경우도 $ S(\Omega, J) = \emptyset $ 를 얻으며, 이는 비유계 도메인에서도 현상이 실패할 수 있음을 보여준다.
• 경계에서 $ \phi' \neq 0 $ 인 조르당 도메인 $ \Omega $ 에 대해 $ S(\Omega, J) \neq \emptyset $ 이며, 이 집합은 $ G_\delta $-조밀하다. 이는 기존의 단위원판 결과를 확장한다.
• 유계가 아닌 도메인으로의 결과 확장은 공간 $ \widetilde{R}(\Omega) $ 를 통해 이루어지며, 동일한 이분법이 성립한다: $ S(\Omega, J) $ 는 공집합이거나 $ \widetilde{R}(\Omega) $ 내에서 $ G_\delta $-조밀하다.