[논문 리뷰] NP-Completeness of Hamiltonian Cycle Problem on Rooted Directed Path Graphs

B. S. Panda, Dinabandhu Pradhan|ArXiv.org|2008. 09. 15.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이분 그래프에서 최대 차수 3인 해밀턴 순환문제에서 다항시간 축소를 통해 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프에서의 해밀턴 순환문제가 NP-완전임을 증명함으로써 그래프 이론에서 열려있던 문제를 해결한다. 저자들은 주어진 이분 그래프 인스턴스로부터 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프 G를 구성하여, 원래 그래프에 해밀턴 순환문제가 존재하는 것과 동치로 구성된 그래프 G에도 해밀턴 순환문제가 존재하도록 한다. 이로써 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프 클래스에 대해 NP-완전성을 입증한다.

ABSTRACT

The Hamiltonian cycle problem is to decide whether a given graph has a Hamiltonian cycle. Bertossi and Bonuccelli (1986, Information Processing Letters, 23, 195-200) proved that the Hamiltonian Cycle Problem is NP-Complete even for undirected path graphs and left the Hamiltonian cycle problem open for directed path graphs. Narasimhan (1989, Information Processing Letters, 32, 167-170) proved that the Hamiltonian Cycle Problem is NP-Complete even for directed path graphs and left the Hamiltonian cycle problem open for rooted directed path graphs. In this paper we resolve this open problem by proving that the Hamiltonian Cycle Problem is also NP-Complete for rooted directed path graphs.

연구 동기 및 목표

• 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프에서 해밀턴 순환문제가 NP-완전인지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 무방향 및 방향성 경로 그래프 클래스에서의 NP-완전성 결과를 더 제약이 강한 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프 클래스로 확장하기 위해.
• 최대 차수 3인 이분 그래프에서의 NP-완전 해밀턴 순환문제를 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프 버전으로 다항시간 축소하기 위해.
• 2-sep 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프 부분집합에서는 다항시간으로 해결 가능한데도 불구하고, 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프로 제한된 경우에도 문제의 NP-완전성이 유지되는지 확인하기 위해.

제안 방법

• 최대 차수 3인 이분 그래프 B로부터 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프 G를 체계적인 정점 및 간선 변환을 통해 구성하기.
• G의 정점의 경로 구조와 차수 제약 조건을 모델링하기 위해 최대 클리크 K_i, K'_j, K''_j 를 정의하기.
• 각 정점 v가 G에서 RDP 클리크 트리 T의 방향 경로에 대응되도록 루트가 K_1인 RDP 클리프 트리 T를 구축하고, 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프의 클리프 트리 정리 조건을 만족시키기.
• 이탈라이 등(1982)이 제시한 최대 차수 3인 이분 그래프에서 해밀턴 순환문제의 NP-완전성 문제에서, 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프에서의 해밀턴 순환문제로의 축소를 수행하기.
• j-블록(예: A_ij, Y_j, Z_j 등 포함된 순서)을 통해 B와 G의 해밀턴 순환문제 사이에 일대일 대응을 설정하여 순환 구조를 유지하기.
• 구성 과정이 다항시간 내에 수행되며, G에서 해밀턴 순환문제 존재성과 B에서의 존재성이 동치임을 증명함으로써 NP-완전성을 입증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무방향 및 방향성 경로 그래프에서 해밀턴 순환문제가 NP-완전임을 고려할 때, 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프에서의 해밀턴 순환문제가 NP-완전인지 여부는 무엇인가?
• RQ2 최대 차수 3인 이분 그래프에서의 해밀턴 순환문제에서 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프 버전으로 다항시간 축소를 구성할 수 있는가?
• RQ3 2-sep 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프 부분집합에서 다항시간 알고리즘이 존재하는 바에도 불구하고, NP-완전성 결과가 유지되는가?
• RQ4 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프의 구조를 활용하여 최대 차수 제약이 있는 이분 그래프의 순환 제약 조건을 시뮬레이션할 수 있는가?

주요 결과

• 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프에서 해밀턴 순환문제가 NP-완전임을 입증하여, 나라시만과 스피나드의 논문에서 언급된 오랫동안 미해결된 문제를 해결한다.
• 최대 차수 3인 이분 그래프에서의 NP-완전 문제에서 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프로의 축소는 다항시간으로 계산 가능하며 해밀턴 순환문제 존재성을 유지한다.
• 클리프 트리 정리에 따라 구성된 그래프 G가 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프임을 증명하였으며, 각 정점의 클리프 집합이 RDP 클리프 트리에서 방향 경로를 이룬다.
• 원래 이분 그래프 B에서 해밀턴 순환문제가 존재하는 것과 동치로 구성된 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프 G에서도 해밀턴 순환문제가 존재함을 j-블록 구조와 순환 재구성에 의해 입증하였다.
• 기존의 무방향 및 방향성 경로 그래프에 사용된 축소 기법을 뿌리가 있는 구조에 적합하게 조정하여 철저히 설계된 클리프 트리와 경로 표현 방식을 도입함으로써 증명 기법을 확장하였다.
• 결과적으로 뿌리가 있는 방향성 경로 그래프 클래스는 해밀턴 순환문제에 대해 다항시간 해법을 갖지 못함을 입증하였으며, 이는 2-sep 부분집합과는 대조된다.