[논문 리뷰] NPT Bound Entanglement- The Problem Revisited

Indrani Chattopadhyay, Debasis Sarkar|ArXiv.org|2006. 09. 06.

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한 줄 요약

이 논문은 $d\times d$ 시스템에서 $d \geq 3$ 인 경우에 경계 얽힘 상태 중 부분 전치가 음수인(NPT) 상태가 존재하는지 여부라는 열린 문제를 재검토한다. 특정 슈미트 랭크-2 상태에 대한 경계를 가정하고, 추측된 NPT 상태의 여러 복제본의 부분 전치를 분석함으로써, $(\rho^{\otimes N})^{T_A}$와 어떤 슈미트 랭크-2 상태의 트레이스가 항상 비음수임을 보여, 이는 두 복제본의 불가분성과 이러한 가정 하에 NPT 경계 얽힘 상태의 존재를 뒷받침한다.

ABSTRACT

Recently [quant-ph/0608250] again created a lot of interest to prove the existence of bound entangled states with negative partial transpose (NPT) in any $d imes d (d \geq 3)$ Hilbert space. However the proof in quant-ph/0608250 is not complete but it shows some interesting properties of the Schmidt rank two states. In this work we are trying to probe the problem in a different angle considering the work by Dür et.al [Phys. Rev. A, 61, 062313(2000)]. We have assumed that the Schmidt rank two states should satisfy some bounds. Under some assumptions with these bounds one could prove the existence of NPT bound entangled states. We particularly discuss the case of two copy undistillability of the conjectured family of NPT states. Obviously the class of NPT bound entangled states belong to the class of conjectured to be bound entangled states by Divincenzo et.al [Phys. Rev. A, 61, 062312(2000)] and by Dür et.al [Phys. Rev. A, 61, 062313(2000)]. However the problem of existence of NPT bound entangled states still remain open.

연구 동기 및 목표

• d \geq 3 인 $d\times d$ 이분기 시스템에서 부분 전치가 음수인(NPT) 경계 얽힘 상태의 존재 여부를 조사하는 것.
• 모든 NPT 상태가 반드시 증착 가능하다는 것인지, 아니면 NPT 경계 얽힘 상태가 존재할 수 있는지에 대한 오랜 동안 미해결된 열린 문제를 다루는 것.
• 슈미트 랭크-2 상태에 대한 경계를 기반으로 한 새로운 분석 프레임워크를 제시하여, 추측된 NPT 상태 가족의 불가분성을 평가하는 것.
• 일부 가정 하에, 상태의 여러 복제본의 부분 전치가 모든 슈미트 랭크-2 상태와의 트레이스 값이 음수가 아님을 보여, 이는 불가분성을 암시하는 것.

제안 방법

• 특정 슈미트 랭크-2 상태의 전개에서 비대칭 항의 출현 빈도에 대한 구체적 경계를 가정한다.
• 부분 전치 $(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ 를 분석하고, 임의의 슈미트 랭크-2 상태 $|\psi\rangle$ 에 대해 트레이스 $ \langle \psi | (\rho^{\otimes N})^{T_A} | \psi \rangle \geq 0 $ 임을 보여, 이는 증착 불가능성을 암시한다.
• 대칭성과 연산자 수세기: $(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ 에서 $ |ijk\cdots\rangle\langle pqr\cdots| $ 형태의 비대칭 항과 그 전치 형태가 동일한 빈도로 나타나, 트레이스가 음수가 아님을 보장한다.
• 분석을 $N=2$ 에서 일반 $N$ 으로 확장하여, 이러한 항의 출현 빈도가 $2^{N-1}$ 만큼 증가하지만, 부분 전치 하에서도 균형을 유지함을 보여, 이는 비음수 기대값을 보장한다.
• 특정 워너-유형 상태 가족인 $ \rho(\lambda) $ 에 분석을 적용하며, 이는 $ \frac{1}{d-1} < \lambda \leq 1 $ 일 때 NPT 경계 얽힘 상태로 추측된다.
• 만약 모든 슈미트 랭크-2 상태 $|\psi\rangle$ 에 대해 $ \langle \psi | (\rho^{\otimes N})^{T_A} | \psi \rangle \geq 0 $ 이라면, 그 상태는 $N$-복제 불가분임을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d \geq 3 인 $d\times d$ 시스템에서 NPT 경계 얽힘 상태가 존재할 수 있는가?
• RQ2 추측된 NPT 상태 가족 $\rho(\lambda)$ 가 임의의 수의 복제본에 대해 LOCC 하에서 진정으로 불가분한가?
• RQ3 슈미트 랭크-2 상태의 연산자 빈도에 대한 특정 경계가 $\rho^{\otimes N}$ 에서 $N$-복제 불가분성을 암시하고, 이는 NPT 경계 얽힘 상태의 존재를 뒷받침하는가?
• RQ4 PPT 경계 상태와 추측된 NPT 경계 얽힘 상태의 텐서 곱을 통해 분리 가능한 얽힘의 비가환성과 비가역성을 입증할 수 있는가?
• RQ5 $(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ 에서 비대칭 항의 다중성에 대한 대칭성이 모든 슈미트 랭크-2 상태에 대해 비음수 기대값을 보장하는가?

주요 결과

• 비대칭 항이 부분 전치 하에서 균형을 이루는 것으로 가정할 경우, $(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ 와 어떤 슈미트 랭크-2 상태의 트레이스 값이 음수가 아니며, 이는 $N$-복제 불가분성을 암시한다.
• 분석 결과, $N=2,3$ 과 일반적인 경우에 대해 $ |ijk\cdots\rangle\langle pqr\cdots| $ 형태의 항과 그 전치 형태가 $(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ 에서 동일한 빈도로 나타나, 기대값이 음수가 아님을 보여준다.
• d \geq 3 인 $d\times d$ 시스템에서 추측된 $\rho(\lambda)$ 상태 가족은 이러한 가정 하에 두 복제 불가분임이 입증되었으며, 이는 NPT 경계 얽힘 상태로의 잠재적 분류를 지지한다.
• 논문은 슈미트 랭크-2 상태에 대한 경계가 타당한 가정일 경우, NPT 경계 얽힘 상태의 존재가 유도됨을 보여주는 프레임워크를 제공하지만, 이러한 경계가 모든 상태에 대해 엄밀히 증명되지는 않았다.
• 결과적으로, 분리 가능한 얽힘의 비가환성과 비가역성이 입증되며, PPT 경계 상태와 추측된 NPT 경계 얽힘 상태의 텐서 곱이 비영인 분리 가능한 얽힘을 유도함을 보여준다.
• 이 작업은 NPT 경계 얽힘 상태 문제의 해결이 아직 열려 있음을 재확인하지만, 제안된 가정들이 그 해결을 향한 실현 가능한 길을 제공함을 시사한다.