[논문 리뷰] NTRUCipher-Lattice Based Secret Key Encryption

Maheswara Rao Valluri|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 05.

Cryptography and Data Security참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 소수 $n$ 과 2의 거듭제곱인 $q$ 를 갖는 다항식환 $\mathbb{Z}_q[x]/(x^n-1)$ 상에서 정수 계수의 절단 다항식을 사용하여 NTRU 격자 구조에 기반한 격자 기반 비밀키 암호화 체계인 NTRUCipher를 제안한다. 이는 NTRUEncrypt 프레임워크를 대칭키 암호화에 적응시킨 것으로, 선택적 평문 공격에 대한 IND-CPA 보안성을 결정 NTRUCipher 암호문 해독 문제의 난이도에 기반하여 증명하며, 브루트포스 공격과 다중 전송 공격에 강한 저항성을 갖는 실용적인 파arameter 설정을 제안한다.

ABSTRACT

NTRU cryptosystem has allowed designing a range of cryptographic schemes due to its flexibility and efficiency. Although NTRU cryptosystem was introduced nearly two decades ago, it has not yet received any attention like designing a secret key encryption. In this paper, we propose a secret key encryption over NTRU lattices, named as NTRUCipher. This NTRUCipher is designed using modification of the NTRU public key encryption. We analyze this cipher efficiency and the space complexity with respect to security aspects, and also show that the NTRUCipher is secured under the indistinguishability chosen plaintext attack.

연구 동기 및 목표

• NTRU 격자 구조를 기반으로 한 새로운 비밀키 암호화 체계를 설계하여, 공개키 암호화를 초월한 NTRU의 응용 분야에 빈도를 메우기 위해.
• NTRUEncrypt 프레임워크를 대칭키 사용에 적응시켜 절단 다항식의 효율성과 대수적 구조를 활용하기 위해.
• 선택적 평문 공격 모델(IND-CPA) 하에서 보안을 공식적으로 증명하기 위해.
• 체계의 효율성, 공간 복잡도, 브루트포스 공격 및 다중 전송 공격에 대한 저항성 분석을 위해.
• 실질적 구현에 적합한 안전하고 실용적인 시스템 파라미터를 제안하기 위해.

제안 방법

• 체계는 소수 $n$ 과 2의 거듭제곱인 $q$ 를 갖는 다항식환 $R = \mathbb{Z}_q[x]/(x^n - 1)$ 를 사용하며, NTRU 격자 프레임워크에 기반한다.
• 암호화는 $c = (p \cdot r \cdot k^{-1} + \mu) \mod q$ 로 정의되며, 여기서 $\mu$ 는 평문, $k$ 는 비밀키, $r$ 은 랜덤한 일회성 다항식, $p$ 는 고정된 다항식이다.
• 복호화는 확률적이며 비밀키 $k^{-1}$ 이 다항식환 $R_{n,q}$ 내에서의 역원을 이용하고, $q$ 로 나눈 나머지 연산과 반올림 연산을 수행한다.
• 보안 증명은 게임 기반 IND-CPA 모델을 사용하며, 임의의 적대자가 유의미한 이득을 얻을 수 있다면 결정 NTRUCipher 암호문 해독 문제를 해독할 수 있음을 보여준다.
• 브루트포스 공격에 저항하기 위해 차수 256인 삼항 다항식의 경우 $3^{256}$ 번의 시도가 필요하며, $\mathfrak{L}_c$ 격자에서의 구조적 격자 감소를 통해 다중 전송 공격에 저항한다.
• 파라미터 선택은 $\frac{q_e}{(2\|r^*\|_\infty + 1)^n}$ 의 이득이 부족한 수준이 되도록 보장함을 기반으로 하며, $n$ 과 $q$ 는 보안 기준을 충족하도록 선택된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NTRU 격자 구조는 공개키 암호화 외의 비밀키 암호화에 효과적으로 재사용될 수 있는가?
• RQ2 해당 체계는 대칭키 암호화의 표준 IND-CPA 모델 하에서 보안성이 확보되는가?
• RQ3 공간 효율성 측면에서 전통적인 블록 암호인 AES나 DES와 비교해 NTRUCipher의 암호문 크기는 어떻게 되는가?
• RQ4 브루트포스 공격과 다중 전송 공격에 저항하기 위한 실용적인 파라미터 선택은 무엇인가?
• RQ5 이 체계는 동형 연산 또는 메시지 인증 기능을 지원하도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 결정 NTRUCipher 암호문 해독 문제의 난이도가 어렵다는 가정 하에 NTRUCipher는 IND-CPA 보안성이 입증되었으며, 이의 이득은 $\frac{q_e}{(2\|r^*\|_\infty + 1)^n}$ 으로 제한되며, 적절히 선택된 파라미터 하에서는 부족한 수준이 된다.
• 브루트포스 공격에 저항하는 것은 매우 큰 검색 공간 덕분이며, 차수 256인 삼항 다항식의 경우 가능한 조합이 $3^{256}$ 개로, $2^{80}$ 보안 기준을 초월한다.
• 다중 전송 공격은 적대자가 $c_i - c_1$ 의 차이로부터 비밀키 $k$ 를 복구할 수 없기 때문에 완화된다. 이는 구조적 격자 $\mathfrak{L}_c$ 에서의 근사 최단 벡터 문제(SVP)를 해결해야 하기 때문이다.
• 암호문 크기는 전통적인 블록 암호보다 크게, 격자 기반 보안성과 공간 효율성 사이의 핵심적인 상충 관계를 반영한다.
• 계산적 연산 측면에선 다항식 곱셈과 $R_{n,q}$ 내의 모듈로 산술 연산에 의존하여 효율적이지만, 큰 암호문 크기로 인해 대역폭 제약 환경에서는 실용성이 떨어진다.
• 저자들은 $n$ 이 소수여야 하며, $q$ 는 2의 거듭제곱이 되고, $\|r^*\|_\infty$ 는 유한하게 제한되어야 하며, 이는 IND-CPA 게임에서의 보안성과 부족한 이득을 확보하기 위함이다.