[논문 리뷰] Null controllability from the exterior of a one-dimensional nonlocal heat equation

Mahamadi Warma, Sebastián Zamorano|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 21.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 41인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 구간 $(-1,1)$ 위에서 분수 라플라스 연산자 $(-∂_x^2)^s$ 로 지배되는 1차원 비국소 열 방정식의 영 제어 가능성을 입증한다. 제어는 외부 열린 집합 $\mathcal{O} \subset \mathbb{R} \setminus (-1,1)$ 에 국한되어 있다. 시스템은 임의의 시간 $T > 0$ 에 대해 영 제어 가능할 조건은 $\frac{1}{2} < s < 1$ 이며, 고유값의 감쇠 조건과 경계 제어 관측 가능성에 대한 Müntz 조건을 이용한 스펙트럼 분석에 기반한다.

ABSTRACT

We consider the null controllability problem from the exterior for the one dimensional heat equation on the interval $(0,1)$ associated with the fractional Laplace operator $(-\partial_x^2)^s$, where $00$ if and only if $\frac 12

연구 동기 및 목표

• 분수 라플라스 연산자 $(-\partial_x^2)^s$ 를 가진 1차원 비국소 열 방정식이 도메인 $(-1,1)$ 밖에 국한된 제어를 통해 영으로 이끌 수 있는지 조사한다.
• 영 제어 가능성이 외부에서 달성 가능한 분수 매개수 $s \in (0,1)$ 의 정확한 범위를 규명한다.
• 스펙트럼 분석을 이용해 이중 시스템의 관측 가능성 부등식과 영 제어 가능성의 동치성을 확립한다.
• 이전에 해결되지 않은 문제였던 $s \leq 1/2$ 인 경우 외부 제어로 영 제어 가능성이 달성 가능한지 여부를 해결한다.
• 비국소 PDE의 제어 가능성에 대한 이해를 심화시키기 위해 임계 임계값 $s = 1/2$ 를 특성화한다.

제안 방법

• 분수 라플라스 연산자 $(-\partial_x^2)^s$ 를 이용해 외부 제어를 갖는 비국소 열 방정식을 정의하며, 이는 특이 적분 연산자로 정의된다.
• 강한 해를 $L^2((0,T);L^2(-1,1))$ 에서 정의하고, 최종 상태의 도달 가능 집합 $\mathcal{R}(u_0,T)$ 를 도입한다.
• 이중성 원리를 적용해 영 제어 가능성을 비국소 법선 도함수 $\mathcal{N}_s$ 를 포함한 이중 시스템의 관측 가능성 부등식으로 환원한다.
• 모멘텀 방법을 적용해 관측 가능성 부등식을 두 조건으로 환원한다: (1) $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n} < \infty$ 이고, (2) $\|\mathcal{N}_s \varphi_n\|_{L^2(\mathcal{O})} \geq \eta > 0$ 이다.
• 고유값 $\lambda_n \sim \left(\frac{n\pi}{2} - \frac{(2-2s)\pi}{8}\right)^{2s}$ 의 渐近적 행동을 분석한다. $n \to \infty$ 일 때.
• 고유값의 $p$-급수와의 비교를 통해 $\sum \frac{1}{\lambda_n} < \infty$ 가 $s > \frac{1}{2}$ 일 때에만 성립함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 매개수 $s \in (0,1)$ 의 어떤 값에서 비국소 열 방정식이 $\mathcal{O} \subset \mathbb{R} \setminus (-1,1)$ 에 국한된 외부 제어로부터 영 제어 가능할 수 있는가?
• RQ2 고전적 경계 제어가 분수 라플라스 연산자에 대해 실패하는 이유는 무엇이며, 외부 제어는 이를 어떻게 해결하는가?
• RQ3 분수 라플라스 연산자의 스펙트럼 성질이 제어 가능성에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 임계값 $s = \frac{1}{2}$ 는 영 제어 가능성에 대해 날카로운가? $s \leq \frac{1}{2}$ 일 경우 어떤 일이 발생하는가?
• RQ5 고유함수의 비국소 법선 도함수 $\mathcal{N}_s$ 는 $L^2(\mathcal{O})$ 에서 어떻게 행동하는가? 그리고 그 값이 일관되게 아래로 유계임이 중요한 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 외부에서의 영 제어 가능성은 $\frac{1}{2} < s < 1$ 일 때에만 성립하며, 이는 $s = \frac{1}{2}$ 에서 날카로운 임계값임을 입증한다.
• $0 < s \leq \frac{1}{2}$ 일 경우, 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n}$ 이 발산하여 관측 가능성에 요구되는 Müntz 조건을 위반하므로 영 제어 가능성도 성립하지 않는다.
• 고유값의 渐近적 행동 $\lambda_n \sim \left(\frac{n\pi}{2} - \frac{(2-2s)\pi}{8}\right)^{2s}$ 는 $\sum \frac{1}{\lambda_n} < \infty$ 가 정확히 $s > \frac{1}{2}$ 일 때에만 성립함을 암시한다.
• 모든 $n$ 에 대해 $\|\mathcal{N}_s \varphi_n\|_{L^2(\mathcal{O})} \geq \eta > 0$ 이 성립하므로, 모멘텀 방법의 두 번째 조건이 충족됨을 보장한다.
• 선형성에 기반해 영 제어 가능성은 궤적 제어 가능성과 동치이며, 도달 가능한 상태의 부드러움으로 인해 정확한 제어 가능성은 실패한다.
• 결과적으로 $s > \frac{1}{2}$ 일 때 외부 제어가 제어 가능성에 대해 필수적이고 충분함을 확인하며, 비국소 PDE 제어 이론에서 핵심적인 질문을 해결한다.