[논문 리뷰] Null-controllability of evolution equations associated with fractional Shubin operators through quantitative Agmon estimates

Paul Alphonse|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 08.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자적 Agmon 추정과 Gelfand-Shilov 정규성에 기반하여 $ℝ^n$ 위의 분수 이방향 Shubin 연산자에 의해 구동되는 진화 방정식의 영제어 가능성을 확립한다. $2sm > 1$ 조건 하에, 이러한 방정식은 임의의 양의 시간에서 두꺼운 제어 지지에서 영제어 가능하며, 관련 준군에 대한 Gelfand-Shilov 공간에서의 날카운 smoothing 추정을 제공한다. 이는 분수 조화 진동자에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We consider the anisotropic Shubin operators $(-Δ)^m + \vert x\vert^{2k}$ acting on the space $L^2(\mathbb R^n)$, with $k, m \geq1$ some positive integers. We provide sharp quantitative estimates in Gelfand-Shilov spaces for the eigenfunctions of these selfadjoint differential operators, that is, exponential decay estimates both for these functions and their Fourier transforms in $L^2(\mathbb R^n)$. The strategy implemented is based on the classical approach to obtain Agmon estimates in spectral theory. By using a Weyl law for the eigenvalues of the anisotropic Shubin operators, we also describe the smoothing properties of the semigroups generated by the fractional powers of these operators, with precise estimates in short times. This description allows us to prove positive null-controllability results for the associated evolution equations posed on the whole space $\mathbb R^n$, from control supports which are thick with respect to densities and in any positive time. We generalize in particular results known for the evolution equations associated with fractional harmonic oscillators.

연구 동기 및 목표

• 전체 공간 $\mathbb{R}^n$ 상에서 분수 이방향 Shubin 연산자와 관련된 진화 방정식의 영제어 가능성을 확립하는 것.
• Gelfand-Shilov 정규성에 기반하여 이러한 연산자의 분수 거듭제곱에 의해 생성되는 준군의 부드러움 성질을 분석하는 것.
• 기존의 분수 조화 진동자에 대한 영제어 가능성 결과를 더 일반적인 이방향 Shubin 연산자 계열로 확장하는 것.
• 영제어 가능성을 보장하는 제어 지지의 최소 기하적 조건을 특성화하는 것, 특히 두께와 밀도 기반 두께를 포함하여.
• 스펙트럼 이론과 Weyl 법칙을 통해 짧은 시간 동안의 해의 정규성에 대한 정밀한 양적 추정을 유도하는 것.

제안 방법

• 스펙트럼 이론과 함수 해석학을 이용하여 이방향 Shubin 연산자의 고유함수에 대한 날카운 양적 Agmon 유형 추정을 유도한다.
• $H_{k,m} = (-\Delta)^m + |x|^{2k}$의 고유값에 대한 Weyl 법칙을 적용하여 준군 $e^{-tH^s_{k,m}}$의 짧은 시간 부드러움 행동를 기술한다.
• $e^{-tH^s_{k,m}}g$가 명시적인 지수 $\nu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sk}, \frac{m}{k+m}\right)$ 와 $\mu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sm}, \frac{k}{k+m}\right)$ 를 가진 Gelfand-Shilov 공간 $S^{ u_{s,k,m}}_{\nu_{s,k,m}}(\mathbb{R}^n)$ 에 속함을 증명한다.
• Weyl 양자화를 이용한 컷오프 함수 접근법을 통해 연산자 $\chi_j^w$ 가 $L^2$ 상에서 항등원으로 수렴함을 보이고, 기호 해석학을 통해 교환자 노름을 통제한다.
• Calderón-Vaillancourt 정리의 양적 형태를 적용하여 컷오프 매개수 $j$ 에 대해 일관된 연산자 노름을 유계화함으로써 수렴의 안정성을 확보한다.
• 이러한 추정을 이중성 원리와 Carleman 부등식과 결합하여, $2sm > 1$ 조건 하에 두꺼운 제어 지지에서의 영제어 가능성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진화 방정식 $\partial_t f + H^s_{k,m}f = h\mathbbm{1}_\omega$ 가 $\mathbb{R}^n$ 상에서 어떤 기하적 및 분석적 조건 하에 영제어 가능할 수 있는가?
• RQ2 분수 이방향 Shubin 연산자에 대해 준군 $e^{-tH^s_{k,m}}$ 의 정확한 Gelfand-Shilov 정규성 성질은 무엇인가?
• RQ3 짧은 시간 동안 $H^s_{k,m}$ 의 부드러움 효과는 매개수 $s$, $k$, $m$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 특히 등방향 케이스 $k=m=l$ 에서, 밀도 기반 두께 조건을 만족하는 제어 지지에서 영제어 가능성이 확립될 수 있는가?
• RQ5 $k=m=1$ 일 때, 매개수 $s$ 에 따른 영제어 가능성의 날카운 임계값은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $t > 0$ 에 대해 준군 $e^{-tH^s_{k,m}}$ 는 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 을 Gelfand-Shilov 공간 $S^{ u_{s,k,m}}_{\nu_{s,k,m}}(\mathbb{R}^n)$ 로 매핑하며, $\nu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sk}, \frac{m}{k+m}\right)$ 와 $\mu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sm}, \frac{k}{k+m}\right)$ 이다.
• 짧은 시간 $0 < t \ll 1$ 에서 준군은 Gelfand-Shilov 노름에서 정량적 부드러움을 보이며, $\|x^\alpha \partial^\beta_x e^{-tH^s_{k,m}}g\|_{L^2}$ 의 명시적 감쇠 추정이 존재한다.
• 모든 $T > 0$ 에 대해 $2sm > 1$ 조건 하에, $\omega \subset \mathbb{R}^n$ 이 두꺼운 제어 지지(참고 문헌 [18, 41]의 의미에서)일 경우 영제어 가능성이 성립한다.
• 등방향 케이스 $k = m = l$ 에서, 밀도 기반 두께 조건을 만족하는 제어 지지에서 영제어 가능성이 달성되며, 이는 [32]의 결과를 분수 Shubin 연산자로 확장한다.
• 특수 케이스 $k = m = 1$ 이고 $s > 1$ 일 때, 임의의 가측 제어 지지 $\omega$ 가 양의 Lebesgue 측도를 가지면, 기하적 두께 조건과 무관하게 영제어 가능성이 성립한다.
• 이 논문은 분수 조화 진동자($H^s_{1,1}$)에 대한 기존의 영제어 가능성 결과를 더 넓은 이방향 Shubin 연산자 계열로 일반화하며, Agmon 추정과 스펙트럼 이론을 기반으로 통합된 프레임워크를 제공한다.