[논문 리뷰] Null-Controllability of Two Species Reaction-Diffusion System with Nonlinear Coupling: A New Duality Method

Kévin Le Balc’h|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 26.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 새로운 이중성 기법인 반사 유일성 방법을 통해 한 내부 제어를 가진 두 종의 비선형 반응-확산 시스템에 대한 전역 영 제어 가능성을 확립한다. $L^p$ 공간($p \geq 2$)으로의 카르레만 추정치의 확장과 포물선 정규성의 활용을 통해, 저자들은 정규 함수의 홀수 거듭제곱인 제어를 구성한다. 이는 초기 데이터가 작을 경우 작은 제어를 보장하며, 영점 근처에서 선형화된 시스템의 제어 가능성 실패를 극복한다.

ABSTRACT

We consider a $2 imes2$ nonlinear reaction-diffusion system posed on a smooth bounded domain$$Ω$ of R N (N $\ge$ 1$). The control input is in the source term of only one equation. It is localized in some arbitrary nonempty open subset $ω$ of the domain $Ω$. First, we prove a global null-controllability result when the coupling term in the second equation is an odd power. As the linearized system around zero is not null-controllable, the usual strategy consists in using the return method, introduced by Jean-Michel Coron, or the method of power series expansions. In this paper, we give a direct nonlinear proof, which relies on a new duality method that we call Reflexive Uniqueness Method. It is a variation in reflexive Banach spaces of the well-known Hilbert Uniqueness Method, introduced by Jacques-Louis Lions. It is based on Carleman estimates in $L^p$ ($2 \leq p < \infty$) obtained from the usual Carleman inequality in $L^2$ and parabolic regularity arguments. This strategy enables us to find a control of the heat equation, which is an odd power of a regular function. Another advantage of the method is to produce small controls for small initial data. Secondly, thanks to the return method, we also prove a null-controllability result for more general nonlinear reaction-diffusion systems, where the coupling term in the second equation behaves as an odd power at zero.

연구 동기 및 목표

• 결합 항이 홀수 거듭제곱일 때, 한 내부 제어를 가진 2×2 비선형 반응-확산 시스템에 대한 전역 영 제어 가능성을 확립하는 것.
• 영점 근처에서 선형화된 시스템의 영 제어 가능성 실패로 인해 기존의 선형화 기반 방법이 적용 불가능한 상황을 극복하는 것.
• 복귀 방법이나 멱급수 전개를 피하는 직접적인 비선형 접근법을 개발하여, 비선형 포물선 시스템에 대한 새로운 프레임워크를 제공하는 것.
• 열 방정식에 대해 정규 함수의 홀수 거듭제곱인 제어를 구성함으로써, 초기 데이터가 작을 경우 작은 제어를 보장하는 것.
• 복귀 방법을 통해 일반 비선형 시스템으로의 방법 확장을 시도하고, 영점 근처에서 홀수 거듭제곱 유사 행동을 보이는 비선형성에 대해 국소 영 제어 가능성을 증명하는 것.

제안 방법

• 반사 바나흐 공간 $L^p$ ($2 \leq p < \infty$)에서의 이중성 기법으로, 힐버트 유일성 방법의 변형인 반사 유일성 방법을 제안한다.
• 포물선 정규성과 이중성 추론을 활용하여 표준 $L^2$ 카르레만 부등식으로부터 $L^p$ 카르레만 추정치를 유도한다.
• 이 방법을 적용하여 열 방정식에 대해 $h = \psi^{2k+1}$ (어떤 $\psi \in L^{2k+2}(Q_T)$)를 만족하는 제어 $h$를 구성함으로써 적분 가능성과 정규성을 확보한다.
• 이중 문제로부터의 정규성 전파를 위해 부트스트랩 추론을 활용하여 제어가 $h \in L^2(Q_T)$임을 보장한다.
• 비선형성의 행동이 영점 근처에서 홀수 거듭제곱과 유사할 경우, 일반 비선형 시스템으로의 결과 확장을 위해 복귀 방법을 적용한다.
• 이중 문제의 해의 유일성과 반사 공간에서의 약한 수렴을 기반으로 근사 수열에서의 극한을 취하는 데 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 결합과 한 내부 제어만을 가진 두 종 반응-확산 시스템에 대해, 선형화된 시스템이 영 제어 가능하지 않더라도 전역 영 제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 반사 공간 $L^p$에서의 이중성 기법을 통해 정규 함수의 홀수 거듭제곱인 제어를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ3 힐버트 유일성 방법을 반사 바나흐 공간으로 일반화하여 포물선 시스템의 비선형성을 다룰 수 있는가?
• RQ4 제안된 이중성 기법이 작은 초기 데이터에 대해 작은 제어를 제공하는가? 이는 기존의 비선형 제어 전략보다 향상된 결과를 낳는가?
• RQ5 비선형성이 영점 근처에서 홀수 거듭제곱과 유사하게 행동할 경우, 복귀 방법을 통해 일반 비선형 시스템으로의 방법 확장이 가능한가?

주요 결과

• 반사 유일성 방법은 결합 항이 두 번째 방정식에서 홀수 거듭제곱일 경우, 선형화된 시스템이 영 제어 가능하지 않음에도 불구하고 '홀수 거듭제곱 시스템'에 대한 전역 영 제어 가능성을 성공적으로 증명한다.
• 이 방법은 열 방정식에 대해 정규 함수 $\psi$의 홀수 거듭제곱인 제어 $h$를 구성하며, $h \in L^2(Q_T)$임을 보장함으로써 제어가 잘 정의되고 적분 가능하다는 것을 입증한다.
• 반사 공간에서의 $L^p$ 추정치와 약한 수렴 추론 덕분에, 초기 데이터가 작을 경우 제어가 작다는 것이 입증된다.
• $L^p$ 카르레만 추정치는 표준 $L^2$ 부등식으로부터 포물선 정규성과 이중성 추론을 통해 유도되며, 이는 $p \geq 2$로의 확장을 가능하게 한다.
• 이 방법은 $L^{2k+2}(Q_T)$에서 이중 문제의 유일한 해를 도출하며, 반사 공간에서의 약한 수렴은 극한이 요구 조건을 만족함을 보장한다.
• 비선형성의 행동이 영점 근처에서 홀수 거듭제곱과 유사할 경우, 복귀 방법을 성공적으로 적용하여 일반 비선형 시스템에 대한 국소 영 제어 가능성을 증명한다.