[논문 리뷰] Null Surfaces: Counter-term for the Action Principle and the Characterization of the Gravitational Degrees of Freedom

Krishnamohan Parattu, Sumanta Chakraborty외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 06.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 18인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론의 변분 원리를 영역이 영일 경우에 해결하기 위해 $2 \sqrt{q} (\Theta + \kappa)$의 보정항을 도입함으로써 작용이 잘 정의됨을 보여준다. 영 표면에서의 물리적 자유도는 유도된 2계량 $q^{ab}$와 영 접선 벡터 $\ell^a$로 식별되며, 좌표 선택을 통해 $\ell^a$를 제거할 수 있음을 보이며, 이로써 (1+1+2) 이중 영 매개변수화에서 $q^{ab}$만이 물리적 자유도로 남는다.

ABSTRACT

Constructing a well-posed variational principle and characterizing the appropriate degrees of freedom that need to be fixed at the boundary are non-trivial issues in general relativity. For spacelike and timelike boundaries, one knows that (i) the addition of a counter-term [like the Gibbons-Hawking-York (GHY) counter-term] will make the variational principle well-defined and (ii) the degrees of freedom to be fixed on the boundary are contained in the induced 3-metric. These results, however, do not directly generalize to null boundaries on which the 3-metric becomes degenerate. In this work, we address the following questions: (i) What is the counter-term that needs to be added on a null boundary to make the variational principle well-defined? (ii) How do we characterize the degrees of freedom which need to be fixed at the boundary? We show that the counter-term to be added is $2 \sqrt{q} \left( \Theta+\kappa ight)$ and that the degrees of freedom to be fixed on the surface are in the induced 2-metric on a null surface, $q^{ab}$, and the tangent vector $\ell^a$ to the null congruence on the surface. We also demonstrate that the degrees of freedom in $\ell^a$ can be eliminated by choosing suitable coordinates. This allows one to identify the physical degrees of freedom of the gravitational field with components $q^{ab}$ of the 2-metric in a suitable (1+1+2) double null parametrization of the spacetime. The implications are discussed.

연구 동기 및 목표

• 경계가 영일 경우 유도된 3계량이 퇄성해지므로 변분 원리가 잘 정의되지 않는 일반 상대성 이론의 문제를 해결하기 위해.
• 변분 원리가 잘 정의되도록 영 경계에서 작용에 추가되어야 할 적절한 보정항을 결정하기 위해.
• 3계량이 퇴화함에 따라 영 경계에서 고정되어야 할 물리적 자유도를 규명하기 위해.
• 영 접선 벡터 $\ell^a$와 관련된 자유도가 좌표 선택을 통해 제거될 수 있음을 보여주며, 이로써 2계량 $q^{ab}$만이 물리적 자유도로 남게 됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 경계 조건 하에서 아인슈타인-힐버트 작용의 변분을 분석하여 영 경계에서 필요한 보정항을 유도하기 위해.
• 보정항을 $2 \sqrt{q} (\Theta + \kappa)$로 식별하며, 여기서 $\Theta$는 영 군집의 확장도이고 $\kappa$는 표면 중력이다.
• 잘 정의된 변분 원리를 확보하기 위해 필요한 경계 조건을 분석하여, 유도된 2계량 $q^{ab}$와 영 접선 벡터 $\ell^a$가 고정되어야 함을 보여주기 위해.
• 시공간의 (1+1+2) 이중 영 매개변수화를 사용하여 기하학을 분해하고 물리적 자유도를 분리하기 위해.
• 적절한 좌표 선택을 통해 $\ell^a$의 자유도를 제거할 수 있음을 보이며, 물리적 자유도를 $q^{ab}$로만 줄여내기 위해.
• 결과로 얻어진 작용이 유한하고, $q^{ab}$를 독립적인 경계 자료로 하여 변분 원리가 잘 정의됨을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 영 경계에서 아인슈타인-힐버트 작용에 추가되어야 할 보정항은 무엇인가? 이를 통해 변분 원리가 잘 정의되게 하기 위해.
• RQ2 영 경계에서 변분 원리가 잘 정의되도록 하기 위해 고정되어야 할 기하학적 양은 무엇인가?
• RQ3 영 접선 벡터 $\ell^a$와 관련된 자유도는 어떻게 제거하거나 비물리적인 것으로 간주할 수 있는가?
• RQ4 영 표면에서 경계 자료를 고정한 후 남는 자유도의 물리적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 영 경계에서 잘 정의된 변분 원리를 확보하기 위해 필요한 보정항은 $2 \sqrt{q} (\Theta + \kappa)$이며, 여기서 $\Theta$는 영 군집의 확장도이고 $\kappa$는 표면 중력이다.
• 영 경계에서의 물리적 자유도는 유도된 2계량 $q^{ab}$와 영 접선 벡터 $\ell^a$에 의해 표현된다.
• $\ell^a$의 자유도는 적절한 좌표 선택을 통해 제거될 수 있으며, 이로써 비물리적 중복성이 제거된다.
• (1+1+2) 이중 영 매개변수화에서, 중력장의 물리적 자유도는 영 표면에서 2계량의 성분 $q^{ab}$로 완전히 기술된다.
• 제안된 보정항을 포함한 작용은 유한하며, 영 경계에서 잘 정의된 변분 원리를 이끈다.
• 결과는 지브스-호킹-요르크 보정항을 영 경계로 일반화하여, 캐논성 중력 이론과 영 표면에서의 양자 중력 이론에 대해 일관된 프레임워크를 제공한다.