[논문 리뷰] Number of bounded distance equivalence classes in hulls of repetitive Delone sets

Dirk Frettlöh, Alexey Garber외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 07.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 국소 복잡도와 잘 정의된 밀도를 갖는 ℝᵈ 내 반복적인 델로네 집합의 헬름(hull)이 정확히 한 개의 유계 거리 동치(bde) 클래스를 포함하거나, 비가чёт수(2ℵ₀)개를 포함한다. 증명은 반복성과 반바우-호브 시퀀스(van Hove sequences)를 이용해, 상반된 오차를 지닌 중첩된 이심(patch)을 사용하여 비가чёт수의 서로 다른 bde 클래스를 구성한다. 이 결과는 치환 타일링과 컷-앤퍼젝트 집합에 대한 이전 연구를 일반화한다.

ABSTRACT

Two Delone sets are bounded distance equivalent to each other if there is a bijection between them such that the distance of corresponding points is uniformly bounded. Bounded distance equivalence is an equivalence relation. We show that the hull of a repetitive Delone set with finite local complexity has either one equivalence class or uncountably many. A very similar result is proven in arXiv:2011.00106 [math.MG].

연구 동기 및 목표

• 반복적인 델로네 집합의 헬름에서 유계 거리 동치(bde) 클래스의 수를 규명하는 것.
• 이러한 헬름이 오직 한 개의 bde 클래스를 포함하는지, 아니면 비가чёт수의 클래스를 포함하는지, 특히 비정규 순서와 동역학계의 맥락에서 해결하는 것.
• 치환 타일링과 컷-앤퍼젝트 집합에 대한 이전 결과를 더 넓은 범위의 델로네 집합으로 일반화하는 것.
• 이분법: bde 클래스의 수는 정확히 1개 또는 2ℵ₀(연속체의 기수)이다.

제안 방법

• 목표 밀도에 대해 제어된 오차를 갖는 영역을 반복적으로 선택하여 델로네 집합 내 중첩된 패치 시퀀스 (Pi)를 구성한다.
• 반복성을 이용해 각 패치가 점점 커지는 반경 내에서 이전 패치의 이동 복사본을 포함하도록 보장한다.
• 두 종류의 영역을 정의한다: D′ᵢ(점이 풍부한 영역)와 N′ᵢ(점이 풍부하지 않은 영역), 이는 밀도에 대해 반대 오차를 갖는다.
• 레마 3.7을 적용하여, 최대 ℓᵢ₊₁ 이내의 이동으로도 ci₊₁-이심(오차가 0에서 일정하게 떨어져 있음)인 영역 D′ᵢ₊₁과 N′ᵢ₊₁를 찾는다.
• 레마 3.2를 사용해 N′ᵢ₊₁의 오차 부호가 D′ᵢ₊₁와 반대임을 보장함으로써, 반복 과정 전반에 걸쳐 구분이 유지되도록 한다.
• 모든 무한어열 u ∈ {D, N}^ℕ에 대해, 일관된 지지 집합과 오차를 갖는 패치 Pi를 접합하여 델로네 집합 Λᵤ를 구성한다. 이는 정리 2.2에 의해 bde 하에서 서로 다른 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복적인 델로네 집합의 헬름에 존재할 수 있는 유계 거리 동치(bde) 클래스의 수는 몇 개인가?
• RQ2 이러한 델로네 집합의 헬름이 오직 한 개의 bde 클래스만 포함할 수 있는가, 아니면 반드시 비가чёт수의 클래스를 포함해야 하는가?
• RQ3 잘 정의된 밀도가 존재할 때, bde 클래스의 수에 대한 이분법이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 전역 밀도가 없는 경우에도 비가чёт수의 bde 클래스를 구성하는 방법을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 국소 복잡도와 잘 정의된 밀도를 갖는 반복적인 델로네 집합의 헬름은 정확히 한 개의 유계 거리 동치 클래스를 포함하거나, 비가чёт수(2ℵ₀)개를 포함한다.
• bde 클래스가 하나 이상 존재할 경우, 이는 {D, N}^ℕ 내의 무한어열을 통해 구성된 2ℵ₀개의 서로 다른 델로네 집합 Λᵤ 존재로 인해 정확히 2ℵ₀개임을 보장한다.
• 모든 구성된 델로네 집합 Λᵤ는 헬름 XΛ에 속하며, 무한히 많은 위치에서 다름을 보이는 서로 다른 Λᵤ(Λᵤ′)는 영구적인 오차 불균형으로 인해 bde 동치가 될 수 없다.
• 증명은 점점 커지는 지지 집합과 제어된 오차를 갖는 반바우-호브 시퀀스의 존재에 의존하며, 이는 서로 다른 Λᵤ와 Λᵤ′ 사이에 균일하게 유계된 이동 거리의 이항사상이 존재할 수 없음을 보장한다.
• 전체 밀도를 가정하지 않더라도, 중간 밀도 ̺ ∈ (̺⁻, ̺⁺)를 사용해 풍부한 영역과 풍부하지 않은 영역를 정의함으로써 이분법이 유지된다.
• XΛ 내의 bde 클래스 기수는 2ℵ₀를 초과할 수 없으며, XΛ 내의 원소가 번역에 대해 고려할 때 최대 2ℵ₀개이므로 상한은 날것이다.