[논문 리뷰] Numbers with countable expansions in base of generalized golden ratios

Yuehua Ge, Bo Tan|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 05.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자연수 m에 대해 일반화된 황금비 기수 β = G(m)로의 가산 전개에 대해 Sidorov와 Vershik의 결과를 일반화한다. 짝수 m = 2k일 때 β = k+1이며, 홀수 m = 2k+1일 때 β = (k+1 + √(k² + 6k + 5))/2이다. 이 논문은 (0, m/(β−1)) 내의 수 중에서 x = pβⁿ + q / (k+1)ⁿ (짝수 m일 때) 또는 x = (pβ + q)/(k+1)ⁿ (홀수 m일 때) 형태를 가진 수는 정확히 ℵ₀개의 전개를 가지며, 나머지 수들은 2^ℵ₀개의 전개를 가진다는 것을 증명하여 Baker가 제기한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Sidorov and Vershik showed that in base $G=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ and with the digits $0,1$ the numbers $x=nG ~( ext {mod} 1)$ have $\aleph_{0}$ expansions for any $n\in\mathbb{Z}$, while the other elements of $(0, \frac{1}{G-1})$ have $2^{\aleph_{0}}$ expansions. In this paper, we generalize this result to the generalized golden ratio base $β=\mathcal{G}(m)$. With the digit-set $\{0,1,\cdots, m\}$, if $m=2k+1$, $\mathcal{G}(m)=\frac{k+1+\sqrt{k^{2}+6k+5}}{2}$, the numbers $x=\frac{pβ+q}{(k+1)^{n}}\in(0, \frac{m}{β-1})$ (where $n, p, q\in\mathbb{Z}$) have $\aleph_{0}$ expansions, while the other elements of $(0, \frac{m}{β-1})$ have $2^{\aleph_{0}}$ expansions; if $m=2k$, $\mathcal{G}(m)=k+1$, the numbers with countably many expansions are $\frac{p}{(k+1)^{n}}\in(0, 2) ~(n, p\in\mathbb{N}\cup\{0\})$. This solves an open question by Baker.

연구 동기 및 목표

• 황금비 기수에서의 가산 전개에 대한 Sidorov와 Vershik의 결과를 임의의 자연수 m에 대해 일반화된 황금비 기수 β = G(m)로 확장하는 것.
• Baker가 제기한, 일반화된 황금비 기수에서 정확히 가산 개의 전개를 가지는 수의 존재성에 관한 열린 문제를 해결하는 것.
• β = G(m)일 때, {0,1,…,m}을 자릿수 집합으로 사용할 때 (0, m/(β−1)) 내의 실수 중 정확히 ℵ₀개의 전개를 가지는 수의 집합을 특성화하는 것.
• 구간 (0, m/(β−1)) 내의 모든 수는 정확히 가산 개의 전개(ℵ₀)를 가지거나, 비가산 개의 전개(2^ℵ₀)를 가지며, 이 두 경우에 대한 완전한 이분법을 확립하는 것.

제안 방법

• 짝수 m = 2k일 때 β = G(m)를 k+1로, 홀수 m = 2k+1일 때 β = (k+1 + √(k² + 6k + 5))/2로 정의한다.
• 기호 역학과 T(그리디 맵의 변형)를 사용하여 전개의 구조를 분석한다.
• 시퀀스의 尾행동을 분류하기 위해 Ind⁺(·) 개념을 도입하고, 이를 통해 비가산적인 전개 집합을 탐지하는 데 응용한다.
• 무한 전개를 유한 전개로 줄이기 위해 재귀적 변환 과정을 적용하며, 특히 ((k+1)k)^∞로 끝나는 시퀀스에 초점을 맞춘다.
• 집합 S에 속한 수가 비가산적으로 많은 전개를 가진다고 가정하고, 이를 거꾸로 거슬러 올라가면서 1의 전개가 비가산적임을 도출함으로써 모순을 유도한다.
• 1이 오직 가산적으로 많은 전개만을 가지므로, S에 속한 수가 비가산적으로 많은 전개를 가진다고 가정하면 이는 모순이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 황금비 기수 β = G(m)에서, (0, m/(β−1)) 내의 어떤 수가 자릿수 집합 {0,1,…,m}을 사용할 때 정확히 가산 개의 β-전개를 가지는가?
• RQ2 Sidorov와 Vershik의 황금비 기수에서의 가산 전개 결과가 모든 m ∈ ℕ에 대해 일반화되는가?
• RQ3 정확히 ℵ₀개의 전개를 가지는 수의 집합이 일반화된 황금비 기수에서 가지는 대수적 및 산술적 구조는 무엇인가?
• RQ4 β = G(m)일 때, (0, m/(β−1)) 내에서 비가산적으로 많은 전개를 가지는 수의 집합은 그 보완이 가산 집합인가?
• RQ5 일반화된 황금비 기수에서 m이 짝수인지 홀수인지에 따라 전개의 구조는 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 짝수 m = 2k일 때, 일반화된 황금비 기수는 β = k+1이며, 정확히 ℵ₀개의 전개를 가지는 수는 (0,2) 내의 형태 p/(k+1)ⁿ인 이진 유리수이며, 여기서 n,p ∈ ℕ ∪ {0}이다.
• 홀수 m = 2k+1일 때, 일반화된 황금비 기수는 β = (k+1 + √(k² + 6k + 5))/2이며, 정확히 ℵ₀개의 전개를 가지는 수는 (0, m/(β−1)) 내의 형태 (pβ + q)/(k+1)ⁿ인 수이며, 여기서 n,p,q ∈ ℤ이다.
• 그 외의 모든 수는 2^ℵ₀개의 전개를 가지며, 이는 가산과 비가산 전개 집합 사이에 명확한 이분법을 확립한다.
• 정확히 ℵ₀개의 전개를 가지는 수의 집합은 가산 무한이며, 짝수와 홀수 m에 대해 모두 명시적으로 특성화되어 있다.
• 증명은 모순에 기반한다: 특별한 집합 S에 속한 수가 비가산적으로 많은 전개를 가진다고 가정하면, 이는 1의 전개가 비가산적임을 뜻하며, 이는 1이 오직 가산적으로 많은 전개만을 가진다는 사실과 모순된다.
• 변환 T와 함수 Ind⁺(·)는 시퀀스를 추적하고 분류하는 데 핵심적인 역할을 하며, 이는 무한 전개를 유한 전개로 줄이는 데 도움이 되고, 비가산 전개 집합의 구조적 제약 조건을 드러낸다.