[논문 리뷰] Numbers with integer expansion in the numeration system with negative base

Petr Ambrož, Daniel Dombek외 2명|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 23.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이토와 사다히로가 도입한 음수기수 수진 체계에서 정수 전개를 갖는 수의 구조를 조사한다. (−β)-정수의 집합 ℤ₋ᵦ를 특성화하고, 연속된 원소들 간의 거리를 도출하며, ℤ₋ᵦ의 자기유사성에 기반해 변형에 관여하지 않는 무한어 v₋ᵦ를 구성한다. 주요 기여는 변형에 관여하지 않는 무한어의 구성과, 삼차 피사조 기수에 대해 (−β)-정수와 β-정수에 의해 생성된 라우지 프랙탈 간의 비교로, 기하학적 및 조합적 성질에서 유사점과 근본적인 차이점을 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper, we study representations of real numbers in the positional numeration system with negative basis, as introduced by Ito and Sadahiro. We focus on the set $\Z_{-β}$ of numbers whose representation uses only non-negative powers of $-β$, the so-called $(-β)$-integers. We describe the distances between consecutive elements of $\Z_{-β}$. In case that this set is non-trivial we associate to $β$ an infinite word $\boldsymbol{v}_{-β}$ over an (in general infinite) alphabet. The self-similarity of $\Z_{-β}$, i.e., the property $-β\Z_{-β}\subset \Z_{-β}$, allows us to find a morphism under which $\boldsymbol{v}_{-β}$ is invariant. On the example of two cubic irrational bases $β$ we demonstrate the difference between Rauzy fractals generated by $(-β)$-integers and by $β$-integers.

연구 동기 및 목표

• 정의된 실수들 중 −β의 비음수 거듭제곱만을 사용해 전개되는 (−β)-정수의 집합 ℤ₋ᵦ를 특성화한다.
• ℤ₋ᵦ 내 연속된 원소들 간의 거리를 결정하고, 이 집합이 비자명한 조건을 설정한다.
• 집합이 비자명할 경우, 자기유사성에 기반해 무한 알파벳 위의 무한어 v₋ᵦ를 ℤ₋ᵦ에 연계한다.
• 자기유사성 성질 −βℤ₋ᵦ ⊆ ℤ₋ᵦ를 활용해 v₋ᵦ가 불변인 변형을 구성한다.
• 특정 삼차 피사조 수인 기수 β에 대해 (−β)-정수와 β-정수에 의해 생성된 라우지 프랙탈을 비교하여, 그 구조적 차이점을 부각한다.

제안 방법

• −β < −1 이며, 레니의 β-전개와 유사한 근사 알고리즘을 사용해 실수의 (−β)-전개를 정의한다.
• 전이 T₋ᵦ를 사용해 자릿수 시퀀스를 생성하고, ℤ₋ᵦ를 −β의 비음수 거듭제곱만을 포함하는 (−β)-전개를 갖는 실수의 집합으로 정의한다.
• −β 기수에서 1의 레니 전개와 자릿수 문자열의 교대 순서를 사용해 ℤ₋ᵦ의 연속된 원소들 간의 거리를 특성화한다.
• 연속된 (−β)-정수 간의 거리 시퀀스를 인코딩해 무한 알파벳 위의 무한어 v₋ᵦ를 구성한다.
• 자기유사성 성질 −βℤ₋ᵦ ⊆ ℤ₋ᵦ를 활용해 v₋ᵦ가 불변인 변형을 유도한다.
• 소피식 (−β)-시프트의 경우, v₋ᵦ를 유한 알파벳으로 사영해, 원시적 변형에 관여하는 무한어 u₋ᵦ를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 기수 −β에 대해 (−β)-정수의 집합 ℤ₋ᵦ가 비자명한가?
• RQ2 ℤ₋ᵦ 내 연속된 원소들 간의 거리는 무엇이며, 고전적 β-정수의 거리와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 ℤ₋ᵦ의 자기유사성은 어떻게 활용해 관련 무한어 v₋ᵦ가 불변인 변형을 구성하는가?
• RQ4 동일한 삼차 피사조 기수 β에 대해 (−β)-정수와 β-정수에 의해 생성된 라우지 프랙탈은 어떻게 비교되는가?
• RQ5 (-β)-시프트가 소피식 시스템을 생성하는 조건은 무엇이며, 이는 관련 무한어 u₋ᵦ의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 집합 ℤ₋ᵦ는 1의 레니 전개가 주기 1의 순환 전개가 아니며, 축적점이 없을 때에만 비자명하다.
• Tribonacci 기수 β ≈ 1.839에 대해, 연속된 (−β)-정수 간의 거리는 Δ₀⁻ = 1, Δ₁⁻ = β − 1, Δ₂⁻ = 1/β이며, 이는 고전적 β-정수와 일치한다.
• x³ − 2x² − x + 1 = 0 을 만족하는 β에 대해, ℤ₋ᵦ 내 거리는 Δ₀⁻ = 1, Δ₁⁻ = β − 1, Δ₂⁻ = 1 − 1/β 로 나타나며, 이는 ℤᵦ 내 거리 Δ₁⁺ = β − 2 와는 상당히 다름을 보인다.
• ℤ₋ᵦ와 관련된 무한어 u₋ᵦ는 φ²: 0 ↦ 02101, 1 ↦ 021101, 2 ↦ 021 이며, 이는 uᵦ를 생성하는 변형과 다름을 보인다.
• Tribonacci 기수에서는, φ²와 φᵦ²의 공액성 덕분에 ℤ₋ᵦ와 ℤᵦ의 라우지 프랙탈이 평행이동을 제외하고 일치한다.
• 최소 다항식이 x³ − 2x² − x + 1 인 기수 β에 대해, ℤ₋ᵦ와 ℤᵦ의 라우지 프랙탈은 기하학적으로 다름을 보이며, 이는 거리 구조와 변형 역학의 차이를 반영한다.