[논문 리뷰] Numerical analysis of multilevel Monte Carlo path simulation using the Milstein discretisation

Kristian Debrabant, Michael B. Giles외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 스칼라 확률미분방정식에 대해 밀스타인 이산화를 사용한 다수준 몽테카를로 방법을 분석하여, 다수준 추정기의 분산 감쇠 속도를 제한함으로써 계산 복잡도를 향상시킴을 보여준다. 주요 기여는 밀스타인 스킴이 수렴 순서를 향상시켜 다수준 경로 시뮬레이션에서 오일러-마루야마 방법보다 뛰어난 효율성을 제공함을 엄밀히 분석한 것이다.

ABSTRACT

The multilevel Monte Carlo path simulation method introduced by Giles (Operations Research, 56(3):607-617, 2008) exploits strong convergence properties to improve the computational complexity by combining simulations with different levels of resolution. Previous research has analysed its efficiency when using the Euler-Maruyama discretisation, and also demonstrated its improved efficiency using the Milstein discretisation with its improved strong convergence. In this paper we analyse its efficiency for scalar SDEs using the Milstein discretisation, bounding the order of convergence of the variance of the multilevel estimator, and hence determining the computational complexity of the method.

연구 동기 및 목표

• 스칼라 확률미분방정식에 대해 다수준 몽테카를로 방법을 밀스타인 이산화를 사용하여 적용했을 때의 효율성을 분석하는 것.
• 다수준 추정기의 분산을 제한하여 방법의 계산 복잡도를 결정하는 것.
• 다수준 맥락에서 오일러-마루야마 방법과 비교해 밀스타인 스킴의 향상된 강한 수렴 성질을 확립하는 것.
• 밀스타인 스킴 하에서 다수준 추정기의 수렴 순서를 정량화하는 것.

제안 방법

• 분석은 브라운 운동에 의해 구동되는 스칼라 SDE에 초점을 맞추며, 더 높은 순서의 강한 수렴을 달성하기 위해 밀스타인 이산화를 사용한다.
• 다수준 몽테카를로 추정기는 여러 수준의 해상도에서의 시뮬레이션을 조합하여 구성되며, 각 수준의 단계 크기가 감소한다.
• 밀스타인 스킴의 더 높은 순서 수렴 성질을 이용해 거친 경로와 끈적한 경로 시뮬레이션 간의 분산을 제한한다.
• 밀스타인 방법의 강한 수렴 순서(스칼라 SDE의 경우 1.0)를 바탕으로 분산 감쇠 속도에 대한 이론적 경계를 유도한다.
• 각 수준에서의 시뮬레이션 비용과 분산 감쇠 속도를 균형 잡음으로써 계산 복잡도를 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스칼라 SDE에 대해 밀스타인 이산화를 사용할 때 다수준 추정기의 분산 수렴 순서는 무엇인가?
• RQ2 밀스타인 스킴과 오일러-마루야마 스킴 간에 다수준 몽테카를로 방법의 계산 복잡도는 어떻게 비교되는가?
• RQ3 밀스타인 스킴의 향상된 강한 수렴 성질을 활용하여 다수준 추정기의 분산을 줄일 수 있는가?
• RQ4 밀스타인 스킴 하에서 다수준 추정기의 분산 감쇠 속도에 대해 어떤 이론적 경계를 설정할 수 있는가?

주요 결과

• 다수준 추정기의 분산은 수준 단계 크기의 제곱에 비례하는 속도로 감쇠되며, 이는 밀스타인 스킴의 강한 수렴 순서 1.0과 일치한다.
• 밀스타인 이산화를 사용한 다수준 몽테카를로 방법의 계산 복잡도는 분산 감쇠 속도가 더 빠르므로 오일러-마루야마 방법보다 뛰어나다.
• 이론적 분석은 스칼라 SDE에 대해 밀스타인 스킴 하에서 다수준 추정기가 최적의 복잡도를 달성함을 확인한다.
• 분산 감쇠 속도는 엄밀히 경계되어 있어, 방법의 계산 비용 측면에서 효율성을 정확히 예측할 수 있다.