[논문 리뷰] Numerical approximation of BSDEs using local polynomial drivers and branching processes

Bruno Bouchard, Xiaolu Tan외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 리프시츠 조건을 만족하는 드라이버를 가진 후행 확률미분방정식(BSDEs)을 해결하기 위한 새로운 수치적 방법을 제안한다. 이 방법은 드라이버의 국소 다항식 근사와 분열 확산 과정을 조합하여 구현되며, 경로에 의존하는 국소 다항식을 사용하는 피카르 반복 기법을 통해 유한 시간 폭주 문제를 피하고, 조건부 기대값 추정이 필요 없이 순수한 전방 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 해를 추정한다. 이로 인해 임의의 시간 구간에서 수렴성을 확보할 수 있다.

ABSTRACT

We propose a new numerical scheme for Backward Stochastic Differential Equations based on branching processes. We approximate an arbitrary (Lipschitz) driver by local polynomials and then use a Picard iteration scheme. Each step of the Picard iteration can be solved by using a representation in terms of branching diffusion systems, thus avoiding the need for a fine time discretization. In contrast to the previous literature on the numerical resolution of BSDEs based on branching processes, we prove the convergence of our numerical scheme without limitation on the time horizon. Numerical simulations are provided to illustrate the performance of the algorithm.

연구 동기 및 목표

• 조건부 기대값 추정이 필요 없는 일반 리프시츠 드라이버를 가진 BSDE에 대한 수치적 방법을 개발한다.
• 전역 다항식 근사에서 발생하는 유한 시간 폭주 문제를 해결하기 위해 전역이 아닌 국소 다항식 근사를 사용함으로써 이를 해결한다.
• 이전의 분열 과정 기반 방법들이 짧은 시간 간격에 국한되어 있었던 것과 달리, 임의의 시간 구간에서 수치적 방법의 수렴성을 보장한다.
• 역방향 재귀나 회귀 기반 조건부 기대값 추정이 필요 없이 분열 과정의 전방 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 이론적으로 탄탄한 마코프 프레임워크를 제공하며, 자연스럽게 비마코프 설정으로 확장 가능하다.

제안 방법

• 상태공간의 분할에 기반한 국소 다항식을 정의하여 BSDE의 일반 리프시츠 드라이버를 근사한다.
• 각 반복 단계에서 현재 해의 공간적 위치에 따라 고정된 국소 다항식 근사를 사용하는 피카르 반복 기법을 적용한다.
• 각 피카르 반복 단계의 해를 KPP형 편미분방정식의 확률적 표현을 활용한 분열 확산 시스템으로 표현한다.
• 역방향 계산 없이 분열 과정의 순수한 전방 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 BSDE의 Y성분을 추정한다.
• 국소 다항식 근사 오차를 제어하고 피카르 반복에서 수축 원리(contraction argument)를 적용함으로써 수렴성을 확보하며, 해의 헬더 연속성 및 리프시츠 연속성에 대한 경계를 확보한다.
• 고정된 시간 간격을 사용한 시간 이산화를 수행하고, SDE 및 BSDE 해의 안정성 추정과 모멘트 제어를 통해 오차 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BSDE의 드라이버에 대해 국소 다항식 근사를 사용할 경우, 전역 다항식 근사에서 관찰되는 유한 시간 폭주 현상 없이도 임의의 시간 구간에서 수렴성이 보장될 수 있는가?
• RQ2 국소 다항식 드라이버와 분열 과정을 조합함으로써 일반 리프시츠 드라이버를 가진 BSDE에 대해 조건부 기대값 추정이 없는 수치적 방법을 구현할 수 있는가?
• RQ3 해의 경로에 대한 정밀한 지점별 추정이 필요 없이도 피카르 반복 기법을 공간적으로 변화하는 국소 다항식으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 국소 다항식 드라이버를 사용한 근사 BSDE의 해에 대한 정규성 및 안정성 특성은 어떠한가?
• RQ5 기존의 PDE 기반 또는 회귀 기반 수치적 방법과 비교해 볼 때, 제안된 방법은 수렴성과 계산 효율성 면에서 어떤가?

주요 결과

• 제안된 방법은 이전의 분열 과정 기반 방법들이 짧은 시간 간격에 국한되어 있었던 것과 달리, 일반 리프시츠 드라이버를 가진 BSDE에 대해 임의의 시간 구간에서 수렴성을 확보한다.
• 국소 다항식 드라이버의 사용은 전역 다항식 근사에서 발생하는 유한 시간 폭주 문제를 방지한다. 특히 차수 ≥2인 경우에 뚜렷한 효과가 있다.
• 분열 과정의 전방 시뮬레이션에 의존함으로써 조건부 기대값 추정이 필요 없어지며, 이는 구현을 단순화하고 계산 비용을 감소시킨다.
• 해의 헬더 연속성 및 리프시츠 연속성은 수축 원리를 통해 제어되며, 가치 함수의 리프시츠 상수에 대한 명시적 경계가 드라이버 및 SDE 계수의 함수로 유도된다.
• 수치 시뮬레이션 결과는 알고리즘의 성능과 안정성을 확인하며, 금융 및 확률적 제어 분야에서의 실용적 적용 가능성을 입증한다.
• 이론적 프레임워크는 마코프 설정뿐 아니라 비마코프 설정에서도 유효하며, 모든 추론 과정이 후자의 경우로 쉽게 확장된다.