[논문 리뷰] Numerical approximation of general Lipschitz BSDEs with branching processes

Bruno Bouchard, Xiaolu Tan외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 리프시츠 조건을 만족하는 드라이버를 가진 후행 확률미분방정식(BSDEs)을 해결하기 위한 분기과정 기반 몬테카를로 알고리즘을 확장하여, 드라이버가 해의 그라디언트에 의존하는 경우로 적용 범위를 넓힌다. Z성분을 제어하기 위해 얼굴 올리기(facial lift) 절차를 도입하고, 피카르 반복을 활용한 국소 다항근사법을 사용함으로써, 시간 범위 제약 없이 전역 수렴성을 달성한다. 수치 시뮬레이션을 통해 검증된다.

ABSTRACT

We extend the branching process based numerical algorithm of Bouchard et al. [3], that is dedicated to semilinear PDEs (or BSDEs) with Lipschitz nonlinearity, to the case where the nonlinearity involves the gradient of the solution. As in [3], this requires a localization procedure that uses a priori estimates on the true solution, so as to ensure the well-posedness of the involved Picard iteration scheme, and the global convergence of the algorithm. When, the nonlinearity depends on the gradient, the later needs to be controlled as well. This is done by using a face-lifting procedure. Convergence of our algorithm is proved without any limitation on the time horizon. We also provide numerical simulations to illustrate the performance of the algorithm.

연구 동기 및 목표

• 이전에 Z에 독립적인 드라이버에 국한되어 있던 분기과정 기반 BSDE 수치 알고리즘을, 해의 Z성분(그라디언트)에 의존하는 드라이버로 확장하는 것.
• 드라이버가 그라디언트에 의존할 경우 잘 정의된 해와 수렴성을 확보하기 위해, 이산 시간 단계에서 얼굴 올리기 절차를 도입하여 문제를 해결하는 것.
• 기본 BSDE가 다항식 드라이버를 가질 경우 폭발할 수 있음에도 불구하고, 임의의 시간 범위에서 알고리즘의 전역 수렴성을 유지하는 것.
• 기존의 후행 스킴의 비용을 피하고 고차원 설정에서 특히 유리한, 수치적으로 안정된 순방향 몬테카를로 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 콤���트 도메인에서 (x,y,z)에 대한 국소 다항근사를 통해 일반 리프시츠 드라이버 함수 f(x,y,z)를 근사하여 분기과정 방법의 적용을 가능하게 하는 것.
• 일반 BSDE를 다항식 드라이버를 가진 연속된 BSDE들의 시퀀스로 줄이기 위해 피카르 반복 기법을 적용하는 것.
• Z성분의 폭발을 방지하고 안정성을 확보하기 위해, 선택된 시간 단계에서 Z성분을 유계된 버전으로 대체하는 얼굴 올리기 절차를 도입하는 것.
• 진짜 해와 그 해의 그라디언트에 대한 사전 추정치를 사용하여 국소화 및 얼굴 올리기 시간 단계를 결정함으로써 반복의 잘 정의됨을 보장하는 것.
• 각 피카르 단계에서 다항근사된 BSDE의 해를 시뮬레이션하기 위해 분기과정을 사용하는 순방향 몬테카를로 알고리즘을 구성하는 것.
• 리프시츠 조건 하에서 시간 범위 제약 없이 전역 수렴성을 증명하며, BDG 및 그로워발라 유사 부등식을 통해 유도된 일관된 적분 가능성과 모멘트 유계를 기반으로 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전에 Z에 독립적인 드라이버에 국한되어 있던 분기과정 기반 몬테카를로 알고리즘을, 해의 Z성분(그라디언트)에 의존하는 드라이버로 확장할 수 있는가?
• RQ2 Z성분의 경로적 행동가지가 영집합에서만 정의되어 직접 잘라내기(트렁케이션)가 불가능한 상황에서, 알고리즘에서 Z성분을 어떻게 안정화할 수 있는가?
• RQ3 드라이버가 그라디언트에 의존할 경우, 얼굴 올리기 절차가 알고리즘의 잘 정의됨과 수렴성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 다항근사된 BSDE가 폭발할 수 있음에도 불구하고, 제안된 방법이 임의의 시간 범위에서 전역 수렴성을 유지하는가?
• RQ5 계산 비용과 정확도 측면에서, 전통적인 후행 스킴과 비교해 볼 때 알고리즘의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 시간 범위 제약 없이 일반 리프시츠 조건을 만족하는 기울기 의존 드라이버를 가진 BSDE에 대해 전역 수렴성을 달성한다.
• 얼굴 올리기 절차는 이산 시간 단계에서 Z성분을 유계된 버전으로 대체함으로써 효과적으로 Z성분을 제어하고, 피카르 반복의 안정성과 잘 정의됨을 보장한다.
• 드라이버의 국소 다항근사와 사전 추정치를 기반으로 국소화 및 얼굴 올리기 시간 단계를 정의함으로써, 해 성분들의 일관된 적분 가능성 보장을 달성한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 알고리즘의 성능과 안정성을 입증하였으며, 고차원 문제에 대한 실용적 타당성을 확인하였다.
• 수렴성 증명은 BDG 및 그로워발라 유사 부등식을 통해 유도된 상수를 기반으로 하며, 드라이버의 리프시츠 상수와 확산 행렬의 성질에 명시적인 의존성을 포함한다.
• 순방향 몬테카를로 방법으로 계산이 효율적이며, 기존의 후행 재귀 구조를 피함으로써 고차원 문제에 특히 적합하며, 특히 저차수 다항근사로 잘 근사 가능한 드라이버에 유리하다.