[논문 리뷰] Numerical Computations for Backward Doubly SDEs and SPDEs

Yufeng Shi, Weiqiang Yang외 1명|ArXiv.org|2008. 05. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스케일링된 랜덤 워크 기반의 이산 시간 옆구리 유형 근사에 기반하여 후방 이중 확률 미분 방정식(BDSDEs)의 해를 근사하기 위한 두 가지 수치적 방법을 제안한다. 논문은 리프시츠 조건과 수축 조건 하에서 수치적 해의 거의 확실 수렴을 증명하여, BDSDEs 및 SPDEs의 수치 시뮬레이션에 대한 이론적 기반을 구축한다. 이는 금융 수학 및 확률적 분석 분야에서의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper we present two numerical schemes of approximating solutions of backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs for short). We give a method to discretize a BDSDE. And we also give the proof of the convergence of these two kinds of solutions for BDSDEs respectively. We give a sample of computation of BDSDEs.

연구 동기 및 목표

• 이론적으로 중요한 역할을 하면서도 거의 다뤄지지 않은 후방 이중 확률 미분 방정식(BDSDEs)을 해결하기 위한 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 표준 BSDEs를 위한 기존 수치 기법을 두 개의 독립적인 브라운 운동을 포함하는 더 복잡한 BDSDE 프레임워크로 확장하기 위해.
• 표준 리프시츠 조건과 수축 조건 하에서 BDSDE의 이산 근사에 대한 엄밀한 수렴 결과를 확립하기 위해.
• BDSDE의 수치적 시뮬레이션과 그들의 확률적 편미분 방정식(SPDEs)과의 연결 고리를 위한 계산 프레임워크를 제공하기 위해.
• 이전에는 해결이 어려웠던 확률적 시스템의 수치적 해를 가능하게 하여 수학적 금융 및 확률적 제어 분야의 실용적 응용을 지원하기 위해.

제안 방법

• 시간 간격 [0,T]를 n등분하여 간격 δ = T/n로 이산화한다.
• 독립 동일분포 베르누이 수열을 사용하여 두 개의 독립적인 브라운 운동을 근사하는 스케일링된 랜덤 워크 {Bⁿ_t}와 {Wⁿ_t}를 구성한다.
• W에 대한 이토 인테그랄은 정방향 시간 근사, B에 대한 인테그랄은 역방향 시간 근사를 사용하여 이산 BDSDE를 정의한다.
• 근사 과정의 약한 수렴을 확립하기 위해 도네스커 유형 정리의 이산 형태를 적용한다.
• 해의 성장률을 통제하고 안정성 증명을 가능하게 하기 위해 지수 가중치 φ = γ^δ를 사용한 가중치가 부여된 사전 추정을 사용한다.
• 모멘트 추정, 버크홀더-데이비스-건디 부등식, 그리고 가중치 오차 과정에 적용된 그론발의 유형 추론을 사용하여 모멘트 추정을 유도하고 기대값 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 독립적인 브라운 운동을 포함하는 후방 이중 확률 미분 방정식(BDSDEs)에 대해 일관된 수치적 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 BDSDE의 옆구리 유형 이산화가 진짜 해로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 생성자 항이 정방향 및 역방향 확률적 적분을 모두 포함할 경우, 수치적 해의 수렴성을 어떻게 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ4 g 계수에 대한 수축 조건이 수치적 안정성과 수렴성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 수치적 방법을 관련된 확률적 편미분 방정식(SPDEs)의 해를 근사하는 데로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 리프시츠 조건과 수축 조건 하에서 옆구리 근사를 기반으로 한 첫 번째 수치적 방법은 진짜 BDSDE 해로 거의 확실하게 수렴한다.
• 다른 이산화 접근법을 사용한 두 번째 방법 역시 동일한 조건 하에서 거의 확실하게 수렴한다.
• 핵심 기술적 결과로 φ = γ^δ를 사용한 가중치가 부여된 사전 추정이 확립되었으며, 이는 해의 노름 통제와 수렴 증명을 가능하게 한다.
• 수렴 속도는 명시적으로 정량화되지 않았지만, 증명은 δ → 0일 때 해와 제어 과정의 오차가 0으로 수렴함을 보여준다.
• 생성자 f와 g가 각각 리프시츠 조건과 수축 조건을 만족할 경우, 방법은 안정적이다.
• 증명은 모멘트 추정, 버크홀더-데이비스-건디 부등식, 그리고 가중치 오차 과정에 적용된 그론발의 유형 추론에 기반한다.