[논문 리뷰] Numerical instability of the Akhmediev breather and a finite-gap model of it

P. G. Grinevich, P. M. Santini|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 30.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분할-스텝 푸리에 방법(SSFM)을 사용하여 초집중 비선형 슈뢰딩거 방정식에서 아크메디에프 브리더의 수치적 불안정성에 대해 연구한다. 라운드오프 오차가 무시할 만할 때, 수치적 해는 정확한 재귀를 보이는 종수 2 유한 갭 해로 잘 근사됨을 보여준다. 주요 발견은 SSFM이 시간 스텝 수의 제곱의 역수에 비례하는 수직 불안정 갭을 유도한다는 것으로, 이는 고정밀 시뮬레이션에서 재귀 시간과 위상 안정성의 원인을 설명한다.

ABSTRACT

In this paper we study the numerical instabilities of the NLS Akhmediev breather, the simplest space periodic, one-mode perturbation of the unstable background, limiting our considerations to the simplest case of one unstable mode. In agreement with recent theoretical findings of the authors, in the situation in which the round-off errors are negligible with respect to the perturbations due to the discrete scheme used in the numerical experiments, the split-step Fourier method (SSFM), the numerical output is well-described by a suitable genus 2 finite-gap solution of NLS. This solution can be written in terms of different elementary functions in different time regions and, ultimately, it shows an exact recurrence of rogue waves described, at each appearance, by the Akhmediev breather. We discover a remarkable empirical formula connecting the recurrence time with the number of time steps used in the SSFM and, via our recent theoretical findings, we establish that the SSFM opens up a vertical unstable gap whose length can be computed with high accuracy, and is proportional to the inverse of the square of the number of time steps used in the SSFM. This neat picture essentially changes when the round-off error is sufficiently large. Indeed experiments in standard double precision show serious instabilities in both the periods and phases of the recurrence. In contrast with it, as predicted by the theory, replacing the exact Akhmediev Cauchy datum by its first harmonic approximation, we only slightly modify the numerical output. Let us also remark, that the first rogue wave appearance is completely stable in all experiments and is in perfect agreement with the Akhmediev formula and with the theoretical prediction in terms of the Cauchy data.

연구 동기 및 목표

• 초집중 비선형 슈뢰딩거 방정식에서 분할-스텝 푸리에 방법(SSFM)을 사용한 아크메디에프 브리더의 수치적 불안정성 분석.
• 특히 SSFM과 같은 이산 수치적 방법이 불안정 배경의 주기적, 한 모드의 교란에서 유랑파의 재귀에 어떤 영향을 미치는지 조사.
• 표준 더블 정밀도 시뮬레이션에서 라운드오프 오차가 재귀 주기와 위상을 어떻게 파괴하는지 규명.
• 수치적 교란과 조화 근사에 의한 아크메디에프 브리더의 첫 번째 피크 특성의 견고성 테스트.
• 유한 갭 이론의 이론적 예측을 유한 갭 해와의 비교를 통해 검증하고 경험적 스케일링 법칙 유도.

제안 방법

• 다양한 시간 스텝 수를 가진 분할-스텝 푸리에 방법(SSFM)을 사용한 초집중 NLS 방정식의 수치 시뮬레이션.
• 정확한 아크메디에프 브리더를 초기 조건으로 사용한 수치적 출력과 첫 번째 조화 근사와의 비교.
• 라운드오프 오차를 억제하고 이산적 수치적 방법에 의한 불안정성만을 분리하기 위해 고정밀(쿼드러플) 산술 사용.
• 유한 갭 이론을 적용하여 수치적 불안정성을 종수 2 해로 모델링하고, 시간 영역에 따라 다른 기본 함수로 행동 기술.
• 시간 스텝 수에 따라 재귀 시간과 갭 개방을 연결하는 공식을 경험적으로 유도.
• 격자 감도 분석을 통해 공간 점 수를 줄여 이산화 효과가 재귀와 위상에 미치는 영향 평가.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라운드오프 오차가 무시할 만할 때, SSFM은 아크메디에프 브리더를 어떻게 수치적으로 근사하는가?
• RQ2 SSFM의 시간 스텝 수와 수치적으로 생성된 유랑파의 재귀 시간 및 위상 안정성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 왜 표준 더블 정밀도 시뮬레이션에서는 아크메디에프 브리더가 해석적으로 안정함에도 불구하고 재귀 주기와 위상에 심각한 불안정성이 나타나는가?
• RQ4 정확한 아크메디에프 초기 조건을 그 첫 번째 조화 근사로 대체할 경우 수치적 출력은 어느 정도 변화하는가?
• RQ5 특히 종수 2 해를 포함한 유한 갭 이론은 SSFM에서 관측된 수치적 불안정성을 어떻게 기술하는가?

주요 결과

• 라운드오프 오차가 무시할 만할 때, 아크메디에프 브리더에 대한 SSFM의 수치적 출력은 정확한 재귀를 보이는 종수 2 유한 갭 해로 잘 기술된다.
• 놀랍게도 경험적 공식이 재귀 시간과 SSFM에서의 갭 개방을 시간 스텝 수의 제곱의 역수와 연결하며, 갭 길이가 $ N_t^{-2} $ 비례함을 보여주며, 여기서 $ N_t $는 시간 스텝 수이다.
• SSFM은 스펙트럼 평면에서 수직 불안정 갭을 유도하며 ($ \mathrm{Re}\,E_1 = \mathrm{Re}\,E_2 = 0 $), 이는 위상 이동 없이 관측된 재귀를 설명한다.
• 표준 더블 정밀도 시뮬레이션에서는 라운드오프 오차가 지배적이며, 이는 재귀 주기와 위상에 심각한 불안정성을 유도하며, 시간 스텝 수가 많을수록 증가한다.
• 정확한 아크메디에프 초기 조건을 그 첫 번째 조화 근사로 대체해도 수치적 출력에 거의 영향을 주지 않아, 첫 번째 피크 역학의 견고성을 확인한다.
• 첫 번째 유랑파의 등장 시점, 위치, 진폭은 완전히 안정적이며, 모든 시뮬레이션 설정에서 아크메디에프 공식과 이론적 예측과 정확히 일치한다.