[논문 리뷰] Numerical investigation on weak Galerkin finite elements

Xiu Ye, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 26.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차 타원 문제에 대한 약한 갈레르킨(weak Galerkin, WG) 유한요소 방법에 대한 종합적인 수치적 조사 결과를 제시하며, 안정성, 수렴성, 초밀착성(supercloness)을 31개의 계산 결과 표를 통해 분석한다. 특정 WG 요소—특히 $(P_k(T), P_k(e), [P_{k+1}]^2)$ 및 $(P_k(T), P_{k+1}(e), [P_{k+1}]^2)$—가 직사각형 및 삼각형 메쉬에서 에너지 노름과 $L^2$ 노름 모두에서 두 계열 초밀착성을 보이며, 안정화 항이 없는 형식은 최적 수렴성을 보이고 강건성(robustness)이 향상됨을 입증한다.

ABSTRACT

The weak Galerkin (WG) finite element method is an effective and flexible general numerical technique for solving partial differential equations. The novel idea of weak Galerkin finite element methods is on the use of weak functions and their weak derivatives defined as distributions. Weak functions and weak derivatives can be approximated by polynomials with various degrees. Different combination of polynomial spaces generates different weak Galerkin finite elements. The purpose of this paper is to study stability, convergence and supercloseness of different WG elements by providing many numerical experiments recorded in 31 tables. These tables serve two purposes. First it provides a detail guide of the performance of different WG elements. Second, the information in the tables opens new research territory why some WG elements outperform others.

연구 동기 및 목표

• 다양한 약한 갈레르킨 유한요소 형식의 안정성, 수렴성, 초밀착성 측면에서 성능을 체계적으로 평가하는 것.
• 다양한 다항식 공간 조합 $(P_\ell(T), P_s(e), G_m(T))$ 중에서 최적 수렴 속도와 향상된 정확도를 보이는 조합을 규명하는 것.
• 안정화 항의 존재 여부가 수렴 행동과 계산 복잡도에 미치는 영향을 탐색하는 것.
• 메쉬 유형과 다항식 차수에 따라 WG 요소를 선택하는 데 도움이 되는 세부 참조 표(31개 표)를 제공하는 것.
• 초밀착성 및 불안정성과 같은 수치 현상의 이론적 설명이 아직 남아 있는 바를 강조함으로써 새로운 연구 방향을 제시하는 것.

제안 방법

• 약한 갈레르킨 유한요소 방법은 $v = \{v_0, v_b\}$ 형태의 약한 함수를 사용하며, 여기서 $v_0$는 내부 값이고 $v_b$는 요소 경계에서의 추적 값이며, 각각 다항식 공간 $P_\ell(T)$와 $P_s(e)$로 근사된다.
• 약한 도함수 $\nabla_w v$는 변분 형식을 통해 정의된다: 모든 $\mathbf{q} \in G_m(T)$에 대해 $(\nabla_w v, \mathbf{q})_T = -(v_0, \nabla \cdot \mathbf{q})_T + \langle v_b, \mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \rangle_{\partial T}$이며, $G_m(T)$는 일반적으로 $[P_m(T)]^d$ 또는 $RT_m(T)$로 선택된다.
• 두 가지 형식이 연구되었으며, 매개변수에 의존하지 않는 안정화 항 $s(\cdot, \cdot)$를 포함한 표준 WG와, 안정화 항을 생략하고 $m$을 증가시킴으로써 안정화 항 없는 WG이다.
• 수치 실험은 다양한 다항식 조합을 사용한 삼각형 및 직사각형 메쉬에서 수행되었으며, 수렴 속도는 에너지 노름과 $L^2$ 노름에서 측정되었다.
• 다양한 다항식 차수 $\ell$, $s$, $m$ 조합—예를 들어 $P_k(T)$, $P_{k-1}(e)$, $P_k(T)$, $P_{k+1}(e)$, $RT_m(T)$—을 포함한 분석이 31개의 세부 표를 통해 이루어졌으며, 수렴 차수, 초밀착성($O(h^{k+2})$로 정의됨), 안정성에 중점을 두었다. 결과는 특정 조합이 예상치 못한 높은 수렴 속도를 보임을 시사한다.
• 분석은 수렴 차수, 초밀착성($O(h^{k+2})$로 정의됨), 안정성에 중점을 두었으며, 결과는 특정 조합이 예상치 못한 높은 수렴 속도를 보임을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차 타원 문제에 대해 에너지 노름과 $L^2$ 노름에서 최적 수렴 속도를 보이는 다항식 공간 조합 $(P_\ell(T), P_s(e), G_m(T))$는 무엇인가?
• RQ2 왜 일부 WG 요소, 예를 들어 $(P_k(T), P_k(e), [P_{k+1}]^2)$는 에너지 노름과 $L^2$ 노름 모두에서 두 계열 초밀착성을 보이며, 다른 요소들—예를 들어 $(P_k(T), P_{k-1}(e), [P_{k+1}]^2)$—는 수렴 성능이 열 劣한가?
• RQ3 안정화 항의 유무가 삼각형 및 직사각형 메쉬에서 WG 요소의 수렴 행동과 강건성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 왜 삼각형 메쉬에서 WG 요소 $(P_k(T), P_{k-1}(e), [P_{k+1}]^2)$에서 관측된 불안정성은 발생하며, 이를 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ5 특정 WG 요소에서 관측된 초밀착성이 이론적으로 증명될 수 있는가? 어떤 조건에서 이러한 향상된 정확도가 발생하는가?

주요 결과

• WG 요소 $(P_k(T), P_k(e), [P_{k+1}]^2)$는 직사각형 메쉬에서 에너지 노름과 $L^2$ 노름 모두에서 두 계열 초밀착성을 보이며, 두 노름 모두에서 수렴 속도가 $O(h^{k+2})$이다.
• WG 요소 $(P_k(T), P_{k+1}(e), [P_{k+1}]^2)$는 일반적인 삼각형 메쉬에서 에너지 노름과 $L^2$ 노름 모두에서 $O(h^{k+2})$ 초밀착성을 보이며, 이는 [2]에서 이론적으로 증명되었다.
• 안정화 항이 없는 WG 방법 형식은 추가 안정화 없이 최적 수렴성을 달성하여 구현을 단순화하고 계산 비용을 감소시킨다.
• WG 요소 $(P_k(T), P_{k-1}(e), [P_{k+1}]^2)$는 삼각형 메쉬에서 수렴 성능이 열 劣하며, 에너지 노름에서는 수렴 속도가 $O(h^{k+1})$이고 $L^2$ 노름에서는 $O(h^{k+2})$이다. 이는 불안정성을 시사한다.
• 요소 $(P_k(T), P_{k-1}(e), RT_{k-1}(T))$는 삼각형 메쉬에서 에너지 노름에서 $O(h^{k+2})$ 수렴 속도와 $L^2$ 노름에서 $O(h^{k+3})$ 수렴 속도를 보이며, 라비아르트-토머스 공간의 사용으로 성능 향상을 보임을 시사한다.
• 요소 $(P_k(T), P_{k-1}(e), RT_k(T))$는 에너지 노름에서 $O(h^{k+1})$ 수렴 속도와 $L^2$ 노름에서 $O(h^{k+2})$ 수렴 속도를 보이며, 이는 고차수의 라비아르트-토머스 공간이 항상 정확도 향상에 기여하지는 않는다는 것을 시사한다.