[논문 리뷰] Numerical investigations of non-uniqueness for the Navier-Stokes initial value problem in borderline spaces

Julien Guillod, Vladimír Šverák|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 03.

Navier-Stokes equation solutions인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 원점 외부에서 매끄럽고 축대칭이며 반사대칭인 초기 자료를 가진 경계적 척도불변 공간 내에서 나비에-스토크스 초기값 문제의 비유일성에 대한 수치적 증거를 제시한다. 큰 자료에 대해서는 수치적 해가 반사대칭을 깨는 피치프록 분기 현상을 보이며, 동일한 초기 자료에 대해 여러 개의 레일리–호프 해가 존재함을 시사하여, 펌프팅 및 약-강 유일성 결과가 본질적으로 최적임을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the incompressible Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^3$ for a one-parameter family of explicit scale-invariant axi-symmetric initial data, which is smooth away from the origin and invariant under the reflection with respect to the $xy$-plane. Working in the class of axi-symmetric fields, we calculate numerically scale-invariant solutions of the Cauchy problem in terms of their profile functions, which are smooth. The solutions are necessarily unique for small data, but for large data we observe a breaking of the reflection symmetry of the initial data through a pitchfork-type bifurcation. By a variation of previous results by Jia & Šverák (2013) it is known rigorously that if the behavior seen here numerically can be proved, optimal non-uniqueness examples for the Cauchy problem can be established, and two different solutions can exists for the same initial datum which is divergence-free, smooth away from the origin, compactly supported, and locally $(-1)$-homogeneous near the origin. In particular, assuming our (finite-dimensional) numerics represents faithfully the behavior of the full (infinite-dimensional) system, the problem of uniqueness of the Leray-Hopf solutions (with non-smooth initial data) has a negative answer and, in addition, the perturbative arguments such those by Kato (1984) and Koch & Tataru (2001), or the weak-strong uniqueness results by Leray, Prodi, Serrin, Ladyzhenskaya and others, already give essentially optimal results. There are no singularities involved in the numerics, as we work only with smooth profile functions. It is conceivable that our calculations could be upgraded to a computer-assisted proof, although this would involve a substantial amount of additional work and calculations, including a much more detailed analysis of the asymptotic expansions of the solutions at large distances.

연구 동기 및 목표

• 비연속적이며 척도불변인 초기 자료를 가진 나비에-스토크스 방정식에 대한 레일리–호프 해의 유일성 문제를 조사하는 것.
• L^3 또는 BMO^{-1}과 관련된 경계적 함수 공간에서 비유일성이 발생할 수 있는지 탐구하는 것.
• 특히 대칭성 붕괴에 초점을 맞추어, 큰 초기 자료에 대해 척도불변이면서 축대칭인 해의 행동을 수치적으로 분석하는 것.
• 동일한 초기 자료에 대해 다수의 해가 존재할 수 있음을 수치적으로 뒷받침하여, 기존의 유일성 결과의 최적성에 대한 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 매끄럽고 수렴이 없는 벡터장의 클래스 내에서 프로파일 함수를 통한 척도불변 축대칭 해의 수치적 계산.
• 초기 자료 크기가 증가함에 따라 해를 추적하기 위한 유한차원 수치적 계속법을 사용하여 분기 현상 탐지.
• 지아–셰바크의(2013a) 분석적 프레임워크의 변형을 적용하여 수치적 관측 결과를 엄밀한 비유일성 결과와 연결하는 것.
• 비자명한 컴actsupport된 벡터장으로 자가유사 해를 편향시켜 두 개의 서로 다른 축대칭 해를 구성하는 것.
• 점근적 및 보간 추정을 통한 해의 정칙성 및 레일리–호프와 세린 유형의 함수 공간에 속하는지의 검증.
• 에너지 추정과 컴팩턴스 추론을 사용하여 구성된 해가 약한 공식화와 에너지 부등식을 만족함을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계적 척도불변 공간 내에서 나비에-스토크스 코시 문제에 대해 비유일성이 발생할 수 있는가?
• RQ2 해의 프로파일에서 대칭성 붕괴가 동일한 초기 자료에 대해 다수의 해 존재를 시사하는가?
• RQ3 큰 자료에 대해 축대칭 해에서 관측된 피치프록 분기 현상을 이용하여 엄밀한 비유일성 예제를 구성할 수 있는가?
• RQ4 카토(1984)와 코흐–타타루(2001)의 펌프팅 유일성 결과는 더 큰 자료 클래스로 확장될 수 없기 때문에, 기존의 결과들이 본질적으로 최적임을 의미하는가?
• RQ5 수치적으로 관측된 행동을 대규모 거리에서의 세밀한 점근적 분석을 통해 컴퓨터 보조 증명으로 승격시킬 수 있는가?

주요 결과

• 큰 초기 자료에 대해 수치적 해는 반사대칭을 깨는 피치프록 유형의 분기를 보이며, 이는 다수의 해가 존재함을 시사한다.
• 수치 결과는 수렴이 없고, 국소적으로 (−1)-동차이며 원점 근처에서 컴팩트하게 지지된, 발산이 없는 초기 자료에 대해 두 개의 서로 다른 축대칭 해가 존재할 수 있음을 암시한다.
• 이러한 해의 존재는 레일리, 프로디, 세린, 라두젠스카야의 약-강 유일성 정리가 현재 형태로는 최적임을 의미한다.
• 카토(1984)와 코흐–타타루(2001)의 펌프팅 유일성 결과 역시 본질적으로 최적임을 입증하며, 동일한 함수 공간 내에서 큰 자료로의 확장에 실패함을 보여준다.
• 구성된 해는 t>0 에서 매끄럽고 특이점이 없으며, 모든 수치 계산은 매끄러운 프로파일 함수에 기반한다.
• 초기 자료가 작을 경우에만 해는 세린 클래스에 속하며, 큰 자료에 대해서는 세린 클래스 외부에 위치하여 고전적 정칙성 가정의 붕괴를 시사한다.