[논문 리뷰] Numerical Method for FBSDEs of McKean-Vlasov Type

Jean-François Chassagneux, Dan Crisan외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 평균장 제어 및 평균장 게임 문제에서 나타나는 McKean-Vlasov 유형의 전진-역행 스토케스 미분 방정식(FBSDEs)을 해결하기 위한 새로운 수치적 스킴을 제시한다. 이 방법은 작은 시간 간격에서 반복적인 국소 피카르 반복을 사용하며, 탈리화 필드에 대한 약한 정규성 조건 하에서 수렴성을 확립한다. 오차 한계는 확률적 테일러 전개와 마틴갈 조건을 통해 유도된다.

ABSTRACT

This paper is dedicated to the presentation and the analysis of a numerical scheme for forward-backward SDEs of the McKean-Vlasov type, or equivalently for solutions to PDEs on the Wasserstein space. Because of the mean field structure of the equation, earlier methods for classical forward-backward systems fail. The scheme is based on a variation of the method of continuation. The principle is to implement recursively local Picard iterations on small time intervals. We establish a bound for the rate of convergence under the assumption that the decoupling field of the forward-bakward SDE (or equivalently the solution of the PDE) satisfies mild regularity conditions. We also provide numerical illustrations.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법이 해의 법에 대한 비-마르코프성 및 비국소적 의존성으로 인해 실패하는 평균장(McKean-Vlasov) 구조를 가진 전진-역행 SDE에 대해 강력한 수치적 스킴을 개발하기 위해.
• 해의 법에 대한 비국소적 PDE를 와서슈타인 공간에 정의된 FBSDE와 탈리화 필드를 통해 연결함으로써, 평균장 게임 및 제어 문제에서 발생하는 비국소적 PDE를 해결하기 위해.
• 탈리화 필드 및 계수에 대한 약한 정규성 가정 하에서 제안된 스킴의 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 무한차원 측도 공간 위의 전통적 PDE 해법의 복잡성에서 벗어나, 확률론적 수치적 접근을 제공하기 위해.

제안 방법

• 스킴은 계속성 방법의 변형을 사용하며, 작은 시간 간격에서 반복적으로 국소 피카르 반복을 적용하여 결합된 FBSDE 시스템의 해를 안정화한다.
• 전진 성분은 시간 분할을 사용한 올레르 유사 스킴으로 이산화하고, 역행 성분은 조건부 기대값을 사용해 반복적으로 근사한다.
• 오차 분석을 위해 확률적 테일러 전개를 사용하며, 주요 항은 탈리화 필드의 이阶 도함수와 측도 변수에 대한 와서슈타인 도함수를 포함한다.
• 역행 성분의 오차를 제어하기 위해 마틴갈 증분을 도입하며, Bürkholder-Davis-Gundy 부등식과 모멘트 추정을 사용해 경계를 도출한다.
• McKean-Vlasov FBSDE와 마스터 방정식(와서슈타인 공간 위의 비국소적 PDE) 사이의 연결을 활용하며, 탈리화 필드를 해의 대체 수단으로 사용한다.
• 연속 시간 버전의 스킴을 구성하고 분석하며, 해 성분의 모멘트 경계와 함께 이산 그론월르 유형 부등식을 통해 오차를 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해의 법에 대한 비국소성과 평균장 의존성으로 인해 기존 방법이 실패하는 McKean-Vlasov FBSDEs에 대해, 이러한 문제를 해결할 수 있는 수치적 스킴을 설계할 수 있는가?
• RQ2 탈리화 필드 및 계수에 대한 약한 정규성 가정 하에서 이러한 스킴의 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ3 완전한 와서슈타인 공간 상의 PDE 이산화 없이도, 방정식의 비-마르코프성 및 측도에 의존하는 구조를 어떻게 수치적으로 다룰 수 있는가?
• RQ4 작은 시간 간격에서의 반복적인 국소 피카르 반복이 전체 시간 영역에 걸쳐 안정적이고 수렴하는 근사치를 제공할 수 있는가?
• RQ5 특히 시간 간격 크기와 해의 정규성에 따라, 스킴의 정확한 모멘트 및 오차 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 탈리화 필드에 대한 약한 정규성 조건 하에서 수렴성을 확보하며, 수렴 속도는 최대 시간 간격 크기의 제곱근에 비례하는 상수 배수로 경계된다.
• 역행 성분의 오차는 마틴갈 증분 분해를 통해 제어되며, 오차 항의 기대 제곱 노름이 $ Ch_i^{1/2} $ 이하로 경계되어 안정성을 확보한다.
• 전진 성분의 해 노름은 초기 자료, 시간 간격, 탈리화 필드 근사 오차에 따라 정해지는 상수에 의해 경계된다.
• 스킴의 수렴성은 해 성분의 모멘트 추정에 대해 적용된 이산 그론월르 부등식을 통해 확립된다.
• 수치적 예시는 이론적 수렴 속도를 확인하며, 실무에서의 스킴의 강건성도 입증한다.
• 스킴은 법에 의존하는 계수를 통한 반복 피카르 스킴에 통합함으로써, 마스터 방정식의 비국소적 및 측도 도함수 항을 효과적으로 처리한다.