[논문 리뷰] Numerical methods for the deterministic second moment equation of parabolic stochastic PDEs

Kirchner, Kristin|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 텐서 곱 공간 위의 페트로프-갈레르킨 근사법을 사용하여 약한 곱셈형 레비 소음을 갖는 포물형 확률적 편미분방정식의 두 번째 모멘트에 대한 결정론적 변분방정식을 직접 수치적으로 해결하는 방법을 제안한다. 이전 연구보다 더 엄격한 조건이 필요로 하지 않는 조건 하에서 두 번째 모멘트 방정식의 잘 정의됨을 입증하고, 공간-시간 적합한 방법에 대해 안정성과 준최적 수렴성을 증명하며, 시간에 대한 일阶 수렴을 보여주는 수치 실험으로 검증한다.

ABSTRACT

Numerical methods for stochastic partial differential equations typically estimate moments of the solution from sampled paths. Instead, we shall directly target the deterministic equations satisfied by the first and second moments, as well as the covariance. In the first part, we focus on stochastic ordinary differential equations. For the canonical examples with additive noise (Ornstein-Uhlenbeck process) or multiplicative noise (geometric Brownian motion) we derive these deterministic equations in variational form and discuss their well-posedness in detail. Notably, the second moment equation in the multiplicative case is naturally posed on projective-injective tensor product spaces as trial-test spaces. We construct Petrov-Galerkin discretizations based on tensor product piecewise polynomials and analyze their stability and convergence in these natural norms. In the second part, we proceed with parabolic stochastic partial differential equations with affine multiplicative noise. We prove well-posedness of the deterministic variational problem for the second moment, improving an earlier result. We then propose conforming space-time Petrov-Galerkin discretizations, which we show to be stable and quasi-optimal. In both parts, the outcomes are illustrated by numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 스토케스틱 ODE 및 PDE에 대한 곱셈형 소음이 있는 해의 첫 번째 및 두 번째 모멘트에 대한 결정론적 변분방정식을 유도하고 분석한다.
• 이전 연구의 한계를 극복하기 위해 소음 강도가 작지 않아도 되는 조건 하에서 두 번째 모멘트 방정식의 잘 정의됨을 입증한다.
• 곱셈형 소음의 경우에 대해 두 번째 모멘트 방정식의 안정적이고 수렴하는 공간-시간 페트로프-갈레르킨 이산화 방법을 개발한다.
• 반지름 이론을 사용하여 텐서 곱 공간 위에서 C₀-반군을 적용하여 스토케스틱 ODE의 결과를 약한 곱셈형 레비 소음이 있는 포물형 스토케스틱 PDE로 확장한다.
• 수치 실험을 통해 제안된 방법의 수렴성과 안정성을 검증한다.

제안 방법

• 함수해석학 도구와 텐서 곱 공간을 사용하여, 가감형 및 곱셈형 위너 소음이 있는 스토케스틱 ODE의 첫 번째 및 두 번째 모멘트에 대한 변분형을 유도한다.
• 트레이스 곱을 분석하고, 시험 및 시도 공간으로 프로젝티브-인젝티브 텐서 곱 공간을 사용하여 곱셈형의 경우에 두 번째 모멘트 방정식의 잘 정의됨을 입증한다.
• 공간과 시간에 대해 텐서 곱 다항식을 사용한 페트로프-갈레르킨 이산화를 구성하며, 곱셈형의 경우 트레이스 곱에 특별한 처리를 한다.
• 곱셈형의 경우의 안정성과 일致성을 복원하기 위해 후처리 및 수정된 트레이스 곱 형식(예: iE⋆₂/Q)을 도입한다.
• 프로젝티브 텐서 곱 공간 위에서 C₀-반군을 사용하여 약한 곱셈형 레비 소음이 있는 포물형 SPDE로 프레임워크를 일반화한다.
• 특히 CN∗₂ 시간 이산화에 대해 공간-시간 적합한 방법의 준최적성과 안정성을 확립하며, 후처리를 피함으로써 이를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 곱셈형 소음이 있는 포물형 SPDE의 두 번째 모멘트는 소음 강도가 작지 않아도 되는 조건 하에서 결정론적 변분형식을 통해 해결될 수 있는가?
• RQ2 곱셈형 소음의 경우에 대해 안정적이고 수렴하는 공간-시간 페트로프-갈레르킨 이산화 방법은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 특히 프로젝티브-인젝티브 및 힐버트 텐서 곱 공간은 두 번째 모멘트 방정식의 잘 정의됨과 안정성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 다양한 시간 이산화 방법(예: iE⋆, CN∗₂)은 두 번째 모멘트 문제에서 안정성과 수렴성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 수치적 프레임워크는 스토케스틱 ODE에서 약한 곱셈형 레비 소음이 있는 포물형 SPDE로 확장될 수 있는가? 이때 안정성과 수렴성이 유지되는가?

주요 결과

• 곱셈형 소음의 경우 두 번째 모멘트 방정식은 프로젝티브-인젝티브 텐서 곱 공간에서 잘 정의되며, 이는 이전 연구에서 요구하는 소음 강도의 작음 조건보다 덜 엄격한 조건인 CG = (108) < ∞ 하에서 입증된다.
• CN∗₂ 시간 스킴을 기반으로 한 페트로프-갈레르킨 이산화 방법은 후처리 없이도 안정성과 준최적 수렴성을 확보한다. 이는 저차수 스킴과는 다르다.
• 수치 실험 결과 시간 이산화 파arameter k에 대해 대각 성분과 총 오차 모두에서 일阶 수렴이 확인되었으며, 이는 정리 4.6과 일치한다.
• 공액 경사법 풀이기에서의 대칭화와 조건부 개선 기법을 사용함으로써, 텐서 곱 이산화에서 유도된 대규모 선형 시스템을 효율적으로 해결할 수 있다.
• 벡터 값 문제로의 프레임워크 일반화는 C₀-반군을 사용한 프로젝티브 텐서 곱 공간 위에서 이루어지며, 곱셈형 레비 소음이 있는 SPDE의 분석을 가능하게 한다.
• 제안된 방법은 몬테카를로 샘플링을 피하여 결정론적 모멘트 방정식을 직접 해결함으로써, 압축 공간-시간 스킴을 통해 계산 비용과 메모리 사용량을 줄일 수 있는 잠재력을 지닌다.