[논문 리뷰] Numerical methods to compute a minimal realization of a port-Hamiltonian system

Karim Cherifi, Volker Mehrmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 17.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 48인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간 도메인 입력-출력 데이터로부터 최소 차수의 포트 해밀토니안(pH) 시스템 실현을 계산하기 위해 보간, 정규화, 구조 유지 모델 순서 감소 기법을 활용하는 세 가지 수치적 방법을 제안한다. 양의 실수 균형 자unc축화(positive real balanced truncation, PRBT) 방법은 높은 정확도와 확장 가능성을 확보하면서도, 대규모 시스템에서 계산 효율성과 안정성 면에서 기존 대안들을 능가하는 강력하고 최소 차수의 pH 모델을 도출한다.

ABSTRACT

Port-Hamiltonian (pH) systems are a very important modeling tool in almost all areas of systems and control, in particular in network based model of multi-physics multi-scale systems. They lead to remarkably robust models that can be easily interconnected. This paper discusses the derivation of pH models from time-domain input-output data. While a direct construction of pH models is still an open problem, we present three different indirect numerical methods for the realization of pH systems. The algorithms are implemented in MATLAB and their performance is illustrated via several numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 초기 원리 모델링 없이도 시간 도메인 입력-출력 데이터로부터 직접 포트 해밀토니안(pH) 시스템 실현을 구성하는 열린 문제를 해결한다.
• 패assivity와 구조적 성질을 유지하는 최소 차수의 pH 실현을 생성하기 위한 수치적으로 강건하고 확장 가능한 알고리즘을 개발한다.
• 얻어진 모델이 다중 물리, 다중 스케일 네트워크(예: 가스 운반 및 전기 래더)와 같은 시스템 및 제어 응용에 적합하도록 보장한다.
• 정확도, 계산 시간, 최소 실현 품질 측면에서 다양한 방법 간의 성능을 비교한다.
• 물리적 모델이 너무 복잡하거나 존재하지 않는 복잡한 시스템(예: 가스 네트워크 및 케이블 구동 로봇)의 데이터 기반 모델링을 가능하게 한다.

제안 방법

• 입력-출력 데이터로부터 초기 기술자 시스템을 유도하기 위해 시스템 실현, 보간, 정규화를 조합한 다섯 단계 절차를 적용한다.
• 양의 실수 균형 자르기(positive real balanced truncation, PRBT)를 사용하여 시스템 차수를 감소시키면서도 pH 구조, 패assing성, 양의 실수 성질을 유지한다.
• 주어진 기술자 시스템에 가장 가까운 pH 시스템을 계산하기 위한 최적화 문제를 수립하며, 구조 제약 조건(J는 반대칭, R은 양의 준정적, W ≥ 0)을 만족하도록 보장한다.
• pH 실현 이전에 초기 기술자 시스템의 구조적 및 수치적 일관성을 확보하기 위해 정규화를 적용한다.
• 특히 가장 가까운 pH 알고리즘에서 최소 차수의 pHDAE 시스템을 달성하기 위해 구조 유지 모델 순서 감소 기법을 적용한다.
• 모든 방법을 MATLAB로 구현하고, 단순 예제와 2000차수의 대규모 전기 래더 네트워크를 활용해 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 원리 모델링 없이도 시간 도메인 입력-출력 데이터로부터 최소 차수의 포트 해밀토니안 실현을 신뢰성 있게 계산할 수 있는가?
• RQ2 다양한 수치적 접근 방식이 정확도, 계산 효율성, 최소 실현 달성 능력 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 양의 실수 균형 자르기(PRBT) 방법은 시스템 차수를 감소시키면서도 pH 구조를 얼마나 잘 유지하는가?
• RQ4 가장 가까운 pH 시스템 알고리즘은 대규모 시스템에서 강건하고 확장 가능하게 만들 수 있으며, 그 한계는 무엇인가?
• RQ5 실제 시스템(예: 가스 네트워크 및 전기 래더)에 대해 데이터 기반 pH 모델링은 어느 정도 적용 가능할 수 있는가?

주요 결과

• PRBT 기반 방법은 2000차수 전기 래더 네트워크에 대해 차수 22의 최소 차수 pH 실현을 도출하였으며, 원래 주파수 응답을 높은 정확도로 유지하였다.
• 차수 5의 단순 예제에서 PRBT 방법은 S = 0.2204, N = 0을 가지며, 원래 전달 함수와 유사한 전달 함수를 생성하였고, 보드 도표 비교를 통해 확인되었다.
• 가장 가까운 pHDAE 알고리즘은 Q ≠ I인 최소 차수 시스템을 도출하여, 이는 비단위 질량 행렬을 갖는다 해도 pH 구조를 유지할 수 있음을 보여주었다.
• 직접적인 방법은 2000차수 래더 네트워크에서 3600초 이내에 완료되지 않아 대규모 시스템에서의 확장성 부족을 보였다.
• 가장 가까운 pH 알고리즘은 래더 네트워크에서 가장 빠른 계산 시간(10.27초)을 기록했지만, 최소 시스템을 도출하지 못해 추가 모델 순서 감소가 필요했다.
• PRBT 방법은 가장 높은 계산 비용(719.75초)을 기록했지만, 특히 대규모 시스템에서 가장 강력하고 최소 차수의 실현을 제공하였다.