[논문 리뷰] Numerical Modeling of Kondratyev's Long Waves Taking into Account Heredity

Dani I. Makarov, Roman Parovik|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 16.

Material Science and Thermodynamics참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Gerasimov-Caputo 분수계 도함수와 투자 및 혁신을 위한 조화 함수를 통해 유전성(기억)을 포함한 Kondratyev의 장기주기의 일반화된 분수계 모델을 제안한다. Adams-Bashforth-Moulton 수치 방법을 사용하여, 모델은 정규적인 한계 순환 행동과 혼돈 역학을 모두 나타내며, 기억 효과가 경제 주기의 복잡성과 안정성에 상당한 영향을 미친다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

The paper proposes a new mathematical model of economic cycles and crises, which generalizes the well-known model of Dubovsky S.V. The novelty of the proposed model lies in taking into account the effect of heredity (memory), as well as the introduction of harmonic functions responsible for the arrival of investments in fixed assets and new management technologies in innovation. The mathematical description is given using the Gerasimov-Caputo fractional derivatives, which are studied within the framework of the theory of fractional calculus. The mathematical model was investigated using the numerical method of Adams-Bashforth-Moulton (ABM), phase trajectories were constructed. It is shown that the proposed mathematical model can have both regular and chaotic regimes.

연구 동기 및 목표

• 분수계 미분을 통해 기억 효과를 포함시켜 Dubovsky의 고전적 Kondratyev 장기주기 모델을 확장하기.
• 조화 함수를 사용하여 투자 유입과 혁신 기반 관리 기술의 영향을 모델링하기.
• 개선된 정확도와 안정성으로 일반화된 분수계 모델을 해결하기 위한 강력한 수치적 기법(ABM)을 개발하고 검증하기.
• 기억성 효과 하에서 경제 역학에서 정규적이고 혼돈적인 제어 영역의 공존을 조사하기.
• 기억 의존적 행동을 포함한 장기 경제 주기 분석을 위한 수학적으로 엄밀한 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 기억 효과를 나타내기 위해 순서 α₁ 및 α₂의 Gerasimov-Caputo 도함수를 사용한 분수계 미분방정식 시스템을 수립한다.
• 주기적인 투자 및 혁신 기술 입력을 모의하기 위해 조화 강제항(δ₁cos(ω₁t), δ₂cos(ω₂t))을 도입한다.
• 수치적 해를 구하기 위해 Adams-Bashforth-Moulton(ABM) 예측-보정 방법을 적용하여 정수계 순서에서는 두 번째 차수 정확도를 확보하고, 분수계의 경우 순서 µ = 1.8를 확보한다.
• 수치 오차 추정 및 수렴 속도 검증을 위해 듀얼 그리드 정밀화 방법(Runge의 규칙)을 활용한다.
• 수치적 해를 사용하여 단계 궤적을 구성하여, 한계 순환과 혼돈 궤도를 포함한 동역학적 행동을 시각화한다.
• 특수한 경우로 α₁ = α₂ = 1, δ₁ = δ₂ = 0일 때 고전적 Dubovsky 모델의 결과를 재현함으로써 모델을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계 도함수를 통해 모의된 기억 효과는 고전 모델과 비교해 Kondratyev 장기주기의 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 주기적인 투자 및 혁신 기술 입력은 정규적 경제 주기와 혼돈적 경제 주기의 발생에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제안된 ABM 방법은 높은 정확도와 안정성으로 일반화된 분수계 모델을 신뢰할 만하게 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 어떤 매개변수 조건에서 모델이 정규적인 한계 순환 행동에서 혼돈적 역학으로 전이되는가?
• RQ5 분수계 순수 α₁ 및 α₂에 따라 ABM 방법의 수렴 속도와 오차 추정치는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 일반화된 모델은 특수한 경우로 α₁ = α₂ = 1, δ₁ = δ₂ = 0일 때 고전적 Dubovsky 모델을 정확히 재현하여 수치적 접근의 타당성을 검증한다.
• 고전적 모델(α₁ = α₂ = 1)의 경우, N = 320일 때 수렴 차수 px ≈ 2.04 및 py ≈ 2.00를 확보하여 두 번째 차수 정확도를 확인한다.
• 분수계의 경우(α₁ = 0.9, α₂ = 0.8)에서는 수렴 차수 µ = 1.8를 확보하며, N = 320일 때 px ≈ 1.81 및 py ≈ 1.79를 기록하여 이론적 기대와 일치한다.
• 단계 궤적 분석 결과, 기억 효과와 조화 입력이 포함된 경우 복잡한 한계 순환 궤도가 생성되며, 단순한 주기 궤도에서 벗어나는 것으로 나타났다.
• 특정 매개변수 설정(예: δ₁ = δ₂ = 1, ω₁ = ω₂ = 0.5)에서 혼돈 궤도가 나타나, 모델이 비주기적이고 비정규적인 경제 역학을 포착할 수 있음을 시사한다.
• 모델은 정규적 제어 영역과 혼돈적 제어 영역를 모두 나타내며, 기억 효과와 혁신 입력이 결정론적 주기 외의 복잡한 경제 행동을 이끌 수 있음을 보여준다.