[논문 리뷰] Numerical scheme for semilinear Stochastic PDEs via Backward Doubly Stochastic Differential Equations

Anis Mohamed, Ben Lasmar외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 분리된 전진-역행 이중 확률 미분 방정식을 이산화하여 반선형 확률적 편미분 방정식을 해결하기 위한 수치적 확률적 방법을 제안한다. 표준 가정 하에서 수렴성을 확립하고, 역행 성분에 대한 일반화된 경로 정규성 결과를 사용하여 수렴 속도를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate a numerical probabilistic method for the solution of a class of semilinear stochastic partial differential equations (SPDEs in short). Our numerical scheme is based on discrete time approximation for solutions of systems of a decoupled forward-backward doubly stochastic differential equations. Under standard assumptions on the parameters, we prove the convergence and the rate of convergence of our numerical scheme. The proof is based on a generalization of the result on the path regularity of the backward equation.

연구 동기 및 목표

• 반선형 확률적 편미분 방정식을 해결하기 위한 확률적 기법을 활용한 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 기존의 PDE 방법이 비현실적이 되는 고차원 또는 복잡한 SPDE를 해결하는 데 도전하기 위해.
• 제안된 수치적 방법의 수렴성과 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 역행 확률 방정식에 대한 경로 정규성 결과를 일반화하여 수렴성 증명을 지원하기 위해.

제안 방법

• SPDE의 해를 나타내기 위해 분리된 전진-역행 이중 확률 미분 방정식(FBD-SDE) 시스템에 기반한다.
• 수치 계산을 가능하게 하기 위해 FBD-SDE 시스템에 이산 시간 근사 방법을 적용한다.
• 전진 성분은 상태 과정을 모델링하고, 역행 성분은 SPDE의 해를 포착한다.
• SPDE와 이중 확률 SDE 간의 관계를 활용하여 해의 확률적 표현을 보장한다.
• 수렴 분석은 역행 방정식 성분에 대한 일반화된 경로 정규성 결과를 사용한다.
• 전체 공간 이산화를 피하기 때문에 고차원 환경에서의 확장 가능성이 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FBD-SDE를 기반으로 한 확률적 수치적 방법이 반선형 SPDE를 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 SPDE에 대한 제안된 이산 시간 근사 방법의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 역행 성분의 경로 정규성은 수치적 방법의 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 경로 정규성의 확장이 표준 가정을 초월한 수렴 증명을 일반화할 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 통한 SPDE 수치 근사에서 안정성과 정확성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 수치적 방법은 계수에 대한 표준 가정 하에서 반선형 SPDE의 진짜 해로 수렴한다.
• 수렴 속도가 확립되어 있어 이 방법의 정확성에 대한 정량적 측도를 제공한다.
• 수렴 증명은 이중 SDE 시스템의 역행 성분에 대한 일반화된 경로 정규성 결과에 기반한다.
• 전체 공간 그리드화가 필요 없기 때문에 고차원 환경에서 잠재적인 이점이 있다.
• 방법은 분리된 FBD-SDE 시스템에 기반하므로 구현과 분석이 간소화된다.
• 이 접근법은 역행 확률 동역학을 통해 SPDE 해의 확률적 표현을 제공한다.