[논문 리뷰] Numerical simulation for fractional Jaulent-Miodek equation associated with energy-dependent Schrodinger potential using two novel techniques

P. Veeresha, D. G. Prakasha외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 15.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 에너지에 의존하는 슈뢰딩거 포텐셜을 가진 시간 분수 Jaulent-Miodek(JM) 방정식을 해결하기 위해 두 가지 새로운 수치 기법—결합 분수 축소 미분변환 방법(CFRDTM)과 q-위상 분석 변환 방법(q-HATM)—을 제안한다. q-HATM는 수치 시뮬레이션에서 빠른 수렴과 낮은 절대 오차를 보이며 CFRDTM에 비해 우수한 계산 효율성과 정확성을 보여, 분수 비선형 연립 시스템에 대한 효과성을 입증한다.

ABSTRACT

In present work, we investigate the numerical solution of time-fractional Jaulent Miodek (JM) equations with the aid of two novel techniques namely, coupled fractional reduced differential transform method (CFRDTM) and q-homotopy analysis transform method (q-HATM). The obtained solutions are presented in a series form, which are converges rapidly. In order to verify the proposed techniques are reliable and accurate, the numerical simulations have been conducted in terms of absolute error. The obtained solutions are presented graphically to ensure the applicability and validity of the considered algorithms. The results of the study reveal that, the q-HATM is computationally very effective and accurate as compared to CFRDTM to analyse fractional nonlinear coupled Jaulent Miodek equations.

연구 동기 및 목표

• 에너지에 의존하는 슈뢰딩거 포텐셜을 가진 시간 분수 Jaulent-Miodek 방정식을 해결하기 위한 두 가지 새로운 수치 기법을 개발하고 적용한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 제안된 방법의 정확도와 수렴 특성을 평가한다.
• 분수 비선형 연립 시스템을 해결하는 데 있어 CFRDTM와 q-HATM의 계산 효율성과 신뢰성에 대해 비교한다.
• 도표 분석과 오차 분석을 통해 제안된 방법의 적용 가능성과 효과성을 검증한다.

제안 방법

• 결합 분수 축소 미분변환 방법(CFRDTM)을 적용하여 시간 분수 JM 방정식의 근사 해석적 해를 급수 형태로 도출한다.
• q-위상 분석 변환 방법(q-HATM)은 위상 분석 방법과 라플라스 변환을 조합하여 보조 수렴 제어 파라미터를 가진 급수 해를 생성한다.
• 두 방법 모두 에너지에 의존하는 포텐셜을 가진 비선형 및 분수계수 특성을 지닌 Jaulent-Miodek 시스템을 다룰 수 있도록 설계되었다.
• 해는 반복적으로 계산되며, 수치 결과와 오차 분석을 통해 빠른 수렴이 확인된다.
• 절대 오차는 확보된 해의 정확도를 정량적으로 평가하기 위한 척도로 사용된다.
• 해의 도표적 표현을 통해 제안된 알고리즘의 타당성과 적용 가능성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CFRDTM와 q-HATM는 에너지에 의존하는 포텐셜을 가진 시간 분수 Jaulent-Miodek 방정식의 해를 얼마나 정확하게 근사할 수 있는가?
• RQ2 제안된 두 방법은 분수 비선형 연립 시스템을 해결할 때 수렴 특성과 계산 효율성 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ3 q-HATM를 통해 도출된 해는 CFRDTM의 해와 비교해 정확도와 오차 크기 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 수치 시뮬레이션은 제안된 방법의 신뢰성과 타당성을 어느 정도 확인하는가?
• RQ5 제안된 기법들은 에너지에 의존하는 포텐셜을 가진 분수계수 비선형 방정식의 복잡성을 효과적으로 다룰 수 있는가?

주요 결과

• q-HATM 방법은 시간 분수 Jaulent-Miodek 방정식을 해결하는 데 있어 CFRDTM보다 더 빠른 수렴과 높은 정확도를 보인다.
• q-HATM를 사용해 확보한 절대 오차 값은 CFRDTM의 결과보다 유의미하게 낮아, 그 정확도가 뛰어남을 확인한다.
• 두 방법으로 도출된 해는 모두 빠르게 수렴하여 강력한 수치적 안정성과 신뢰성을 나타낸다.
• 해의 도표적 표현을 통해 제안된 알고리즘이 다양한 분수계수에서 적용 가능하고 타당함을 확인할 수 있다.
• q-HATM는 분수 비선형 연립 Jaulent-Miodek 방정식을 분석하는 데 있어 CFRDTM보다 계산적으로 더 효과적이다.
• 본 연구는 두 방법 모두 복잡한 분수 편미분방정식에 적합하지만, 실질적으로 q-HATM가 더 효율적이고 정확하다는 것을 확인한다.