[논문 리뷰] Numerical Solution of Stochastic Partial Differential Equations with Correlated Noise

Dirk Blömker, Minoo Kamrani|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럼 갈레르킨 공간 이산화와 Jentzen & Kloeden의 시간 스텝 방법을 사용하여 상관관계가 있고 비대각형인 색 잡음이 있는 확률적 편미분 방정식(SPDEs)에 대한 수치적 스킴을 제시한다. 수치적 해에 대한 균일한 유계성 조건 하에서, 경로별 수렴성을 균일 위상에서 확립하며, 공간에서 수렴 속도는 $ N^{-rac{1}{2}} $이고 시간에서 $ ( abla t)^{rac{1}{4}} $이다. 이는 이전 결과를 일반적인 비선형성과 상관관계가 있는 잡음 구조로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate the numerical solution of stochastic partial differential equations (SPDEs) for a wider class of stochastic equations. We focus on non-diagonal colored noise instead of the usual space-time white noise. By applying a spectral Galerkin method for spatial discretization and a numerical scheme in time introduced by Jentzen $\&$ Kloeden, we obtain the rate of path-wise convergence in the uniform topology. The main assumptions are either uniform bounds on the spectral Galerkin approximation or uniform bounds on the numerical data. Numerical examples illustrate the theoretically predicted convergence rate.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 흰잡음과 비상관 브라운 운동을 초월하여 색잡음이 있는 SPDE의 수치 해석을 확장하기 위해.
• 비대칭이고 상관관계가 있는 잡음이 있는 SPDE에 대해 경로별 수렴성을 균일 위상에서 확립하기 위해.
• 스펙트럼 갈레르킨과 시간 스텝 방법을 조합한 공간-시간 이산화에 대한 수렴 속도를 유도하기 위해.
• 국소 리프시츠 비선형성과 다항식 성장 조건 하에서 이론적 결과를 수치적 예제로 검증하기 위해.

제안 방법

• 라플라스 연산자의 고유함수를 사용한 스펙트럼 갈레르킨 방법을 통한 공간 이산화.
• Jentzen & Kloeden이 제안한 확률미분방정식을 위한 수치적 스킴 기반의 시간 이산화.
• 오차 전파를 통제하기 위해 수치적 해 또는 갈레르킨 근사에 대한 균일 유계성을 사용.
• 에너지 유형의 사전 추정을 통해 스펙트럼 방법에 대한 균일 유계성을 검증.
• 선형 연산자 $ A $와 교환하지 않는 공분산 연산자를 통해 상관관계가 있는 잡음을 통합.
• 유한차원 근사에서 상관관계가 있는 브라운 운동을 생성하기 위해 코レス키 분해를 구현.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일 위상에서 상관관계가 있고 비대칭인 잡음이 있는 SPDE의 수치적 해의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 국소 리프시츠 비선형성을 가진 SPDE의 수치 근사에 대해 균일 유계성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 스펙트럼 갈레르킨 방법과 시간 이산화를 조합하여 상관관계가 있는 잡음이 있는 SPDE에 대해 경로별 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 공분산 연산자와 선형 연산자가 교환하지 않을 경우 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 수치 실험은 이론적 수렴 속도를 실질적으로 어떻게 확인하는가?

주요 결과

• 논문은 상관관계가 있는 잡음이 있는 SPDE의 수치적 해에 대해 균일 위상에서 경로별 수렴성을 확립한다.
• 균일 유계성 가정 하에 공간 수렴 속도는 $ O(N^{-rac{1}{2}}) $이고, 시간 수렴 속도는 $ O(( abla t)^{rac{1}{4}}) $이다.
• 수치적 예제는 공간 이산화 매개변수 $ N $ 에서 이론적 수렴 속도 $ \frac{1}{2} $를 확인한다. 그림 3에서 볼 수 있다.
• 균일 유계성 가정은 국소 리프시츠 조건과 다항식 성장 조건을 만족하는 비선형성의 처리를 가능하게 한다.
• 이 방법은 버거스 방정식을 초월하여 고차원 영역과 다양한 경계 조건을 가진 일반적인 SPDE에 적용 가능하다.
• 코レス키 분해를 통한 구현은 상관관계가 있는 브라운 운동을 성공적으로 생성하여 잡음 구조의 정확한 시뮬레이션을 가능하게 한다.