[논문 리뷰] Numerical solution of variable order fractional differential equations

John T. Katsikadelis|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 01.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 12인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 캐프토 유형의 변동형상수 분수계수 미분방정식(FDEs)을 해결하기 위한 수치적 방법을 제시한다. 변동형상수 분수미분의 단순한 근사치를 도입하고, 선형 및 비선형 변동형상수 FDEs(변수 계수 포함)에 적용 가능한 간단하고 계산 효율성이 높은 알고리즘을 개발하여, 변동형상수 진동자와 디프링 방정식의 수치적 해를 통해 높은 정확도와 효율성을 입증한다.

ABSTRACT

A method for the numerical solution of variable order (VO) fractional differential equations (FDE) is presented. The method applies to linear as well as to nonlinear VO-FDEs. The Caputo type VO fractional derivative is employed. First, an simple expression, which approximates the VO fractional derivative, is established and then a procedure based on this approximation is developed to solve VO-FDEs linear and nonlinear, both explicit and implicit. VO-FDEs with variable coefficients are also treated. The method is illustrated by solving the second order VO-FDE describing the response of the VO fractional oscillator, linear and nonlinear (Duffing). However, it can be straightforwardly extended to higher order VO-FDEs. The presented method, in addition to its effectiveness, is simple to implement and program on a computer. The obtained results validate the efficiency and accuracy of the developed method

연구 동기 및 목표

• 변동형상수 분수미분방정식(VO-FDEs)을 해결하기 위한 신뢰성 있고 효율적인 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 기존의 정수형상수 FDEs를 위한 수치 기법을 변동형상수 미분을 다룰 수 있도록 확장하기 위해.
• 선형 및 비선형 VO-FDEs, 포함된 암묵적 및 명시적 형태를 모두 다루기 위해.
• 동일한 프레임워크 내에서 VO-FDEs에 변수 계수를 통합하기 위해.
• 프로그래밍에 적합하고 널리 사용 가능한 간단하고 구현 가능한 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 캐프토 유형의 변동형상수 분수미분에 대한 새로운 분석적 근사치를 유도하였다.
• 근사치를 통해 VO-FDEs를 콜로케이션 또는 이산화를 통해 대수방정식의 체계로 변환할 수 있다.
• 해와 그 도함수를 표현하기 위해 조각다항식 근사를 사용하였다.
• 안정성과 수렴성을 유지하는 단계별 수치 절차를 통해 알고리즘을 적용하였다.
• 고차수 VO-FDEs를 일阶방정식 체계로 환원함으로써 이 방법을 고차수로 일반화하였다.
• 표준 수치 루틴을 사용하여 구현함으로써 프로그래밍 용이성과 계산 효율성을 확보하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐프토 의미에서 변동형상수 분수미분에 대해 일관되고 정확한 근사를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 선형 및 비선형 VO-FDEs에 대해 변수 계수를 포함하여 효과적으로 해결할 수 있는 수치 절차는 무엇인가?
• RQ3 제안된 방법은 제2차 시스템을 포함한 다양한 유형의 VO-FDEs에서 높은 정확도와 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 VO-FDEs에 대해 기존 방법과 비교해 성능 및 정확도 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 이 방법은 고차수 VO-FDEs로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 변동형상수 분수진동자에 대한 제2차 VO-FDE를 매우 높은 정확도로 해결한다.
• 비선형 동역학을 반영하는 디프링 진동자에 대해 변동형상수 도함수를 성공적으로 포착한다.
• 수치적 결과는 다양한 시험 케이스에서 방법의 안정성과 수렴성을 확인한다.
• 알고리즘이 계산적으로 효율적이며 쉽게 프로그래밍할 수 있어 실용적 구현에 적합하다.
• 명시적 및 암묵적 VO-FDEs를 모두 다룰 수 있는 강건성을 보인다.
• 변수 계수를 포함한 VO-FDEs에 대해 효과성을 입증함으로써 적용 범위를 넓혔다.