[논문 리뷰] Numerical Solutions of Reaction-Diffusion Equation Systems with Trigonometric Quintic B-spline Collocation Algorithm

Aysun Tok Onarcan, Nihat Adar외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 17.

Differential Equations and Numerical Methods인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반응-확산 시스템을 수치적으로 해결하기 위해 삼각함수 5차 B-spline 운용법과 크랭크-니콜슨 시간 이산화를 조합한 방법을 제안한다. 이 방법은 더 큰 시간 간격을 사용하더라도 높은 정확도와 안정성을 확보하며, 색나켄베르크, 그레이-스카트, 브루셀레이터 모델에서 복잡한 시공간 패턴을 성공적으로 시뮬레이션한다. 선형 케이스에서는 기존의 다중격자 솔버보다 오차 노름에서 뛰어난 성능을 보이며, 비선형 시스템에서는 다항식 B-spline 방법과 동등하거나 이를 초월한다.

ABSTRACT

In this study, the numerical solutions of reaction-diffusion systems are investigated via the trigonometric quintic B-spline nite element collocation method. These equations appear in various disciplines in order to describe certain physical facts, such as pattern formation, autocatalytic chemical reactions and population dynamics. The Schnakenberg, Gray-Scott and Brusselator models are special cases of reaction-diffusion systems considered as numerical examples in this paper. For numerical purposes, Crank-Nicolson formulae are used for the time discretization and the resulting system is linearized by Taylor expansion. In the finite element method, a uniform partition of the solution domain is constructed for the space discretization. Over the mentioned mesh, dirac-delta function and trigonometric quintic B-spline functions are chosen as the weighted function and the bases functions, respectively. Thus, the reaction-diffusion system turns into an algebraic system which can be represented by a matrix equation so that the coeffcients are block matrices containing a certain number of non-zero elements in each row. The method is tested on different problems. To illustrate the accuracy, error norms are calculated in the linear problem whereas the relative error is given in other nonlinear problems. Subject to the character of the nonlinear problems, the occurring spatial patterns are formed by the trajectories of the dependent variables. The degree of the base polynomial allows the method to be used in high-order differential equation solutions. The algorithm produces accurate results even when the time increment is larger. Therefore, the proposed Trigonometric Quintic B-spline Collocation method is an effective method which produces acceptable results for the solutions of reaction-diffusion systems.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 시공간 역학을 보이는 반응-확산 시스템을 해결하기 위한 강력한 수치적 방법을 개발한다.
• 삼각함수 5차 B-spline이 편미분방정식에서 최대 4차 도함수까지의 근사에 어떻게 기여하는지 조사한다.
• 정확도와 효율성 측면에서 기존의 다항식 B-spline 운용법 및 크랭크-니콜슨 다중격자 솔버와의 성능을 비교한다.
• 새로운 알고리즘을 사용하여 그레이-스카트 모델에서 자가 복제되는 점 패턴을 시뮬레이션하고 분석한다.
• 비선형 반응 항과 비균일한 경계 조건을 다룰 수 있는 능력을 입증한다.

제안 방법

• 이 방법은 갈레르킨 유한요소 운용 프레임워크 내에서 삼각함수 5차 B-spline을 기저 함수로, 디랙-델타 함수를 가중치 함수로 사용한다.
• 시간 이산화에는 두 번째 차수 정확도와 무조건적 안정성을 보장하는 크랭크-니콜슨 스킴을 적용한다.
• 반응-확산 시스템 내 비선형 항은 타일러 전개를 통해 선형화되어 유도된 대수적 연립방정식의 반복적 해법이 가능해진다.
• 공간 영역은 균일하게 분할되며, 시스템의 약한 형태는 효율적인 해법을 위한 띠형 블록 행렬 방정식으로 변환된다.
• 이 방법은 딜레르트 경계 조건과 뉴먼 경계 조건을 모두 지원하며, 각 모델 시스템에 대해 초기 조건이 명시된다.
• 그레이-스카트 모델의 수치적 해는 t=1000까지 계산되며, 정확도 평가에 오차 노름과 상대 오차가 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각함수 5차 B-spline 운용법은 복잡한 패턴 형성 특성을 보이는 비선형 반응-확산 시스템에 대해 정확하고 안정적인 해를 제공할 수 있는가?
• RQ2 기존의 다항식 5차 B-spline 운용법 및 크랭크-니콜슨 다중격자 솔버와 비교해 본다면, 제안된 방법의 정확도와 효율성은 어떠한가?
• RQ3 표준 매개변수 하에서 그레이-스카트 모델에서 자가 복제되는 점 패턴을 얼마나 잘 포착할 수 있는가?
• RQ4 삼각함수 B-spline의 사용이 해의 고차 도함수 근사에서 더 높은 연속성과 개선된 정확도를 가능하게 하는가?
• RQ5 더 큰 시간 간격을 사용하더라도 정확도를 유지할 수 있는가? 이는 계산 비용 절감에 기여한다.

주요 결과

• 선형 테스트 문제에서 제안된 삼각함수 5차 B-spline 운용법은 다항식 5차 B-spline 운용법 및 크랭크-니콜슨 다중격자 솔버와 비교해 유사하거나 뛰어난 정확도를 보이며, 더 낮은 오차 노름으로 입증되었다.
• 비선형 그레이-스카트 모델에서 이 방법은 자가 복제되는 점 패턴을 성공적으로 재현하였으며, 초기 펄스가 4개로 분열하고 시간이 지남에 따라 계속 분지하는 패턴을 보였다. t=1000까지의 시뮬레이션 결과가 확인되었다.
• 상대적으로 큰 시간 간격 Δt=0.2를 사용하더라도 안정성과 정확도를 유지하여 시간 이산화 크기의 영향에 대해 강건함을 입증하였다.
• 그레이-스카트 모델에서 U와 V의 공간적 패턴은 두 개의 초기 펄스에서 출발하여 복잡한 분지 네트워크의 점 패턴으로 진화하며, 문헌에 기록된 동역학과 일치하는 결과를 보였다.
• 삼각함수 5차 B-spline의 사용은 4차 연속 근사를 가능하게 하여 시스템 내 고차 도함수의 정확한 표현을 가능하게 하였다.
• 모든 모델(Schnakenberg, Brusselator, Gray-Scott)에 대한 그래픽 결과는 기존에 발표된 시뮬레이션과 정성적으로 일치하여, 이 방법의 신뢰성을 검증하였다.