[논문 리뷰] Numerical Solver for the out-of-equilibrium time dependent Boltzmann Collision operator: Application to 2D materials

Indrajit Wadgaonkar, Michael Wais외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 13.

Quantum and electron transport phenomena참고 문헌 92인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 2D 물질에서 평형 외의 시간에 따라 변하는 볼츠만 충돌 연산자에 대해 수치적으로 안정적이고 적응형 시간 간격을 갖는 해법기를 제시하며, 평형에 가까운 근사 없이 비평형 전자 동역학을 정확하게 시뮬레이션할 수 있도록 한다. 이 방법은 입자 수, 운동량, 에너지를 유지하면서 실제 밴드 구조와 산란 진폭을 처리할 수 있으며, 높은 에너지 상태의 진동자가 낮은 에너지 상태의 진동자보다 더 빨리 열적 평형에 도달함을 드러내며, 비지수적이고 이중지수적 감쇠 프로파일을 보인다.

ABSTRACT

The Time Dependent Boltzmann equation (TDBE) is a viable option to study strongly out-of-equilibrium thermalization dynamics which are becoming increasingly critical for many novel physical applications like Ultrafast thermalization, Terahertz radiation etc. However its applicability is greatly limited by the impractical scaling of the solution to its scattering integral term. In our previous work\cite{Michael} we had proposed a numerical solver to calculate the scattering integral term in the TDBE and then improved on it\cite{1DPaper} to include second degree momentum discretisation and adaptive time stepping. Our solver requires no close-to-equilibrium assumptions and can work with realistic band structures and scattering amplitudes. Moreover, it is numerically efficient and extremely robust against inherent numerical instabilities. While in our previous work \cite{1DPaper} we showcased the application of our solver to 1D materials, here we showcase its applications to a simple 2D system and analyse thermalisations of the introduced out-of-equilibrium excitations. The excitations added at higher energies were found to thermalise faster than those introduced at relatively lower energies. Also, we conclude that the thermalisation of the out-of-equilibrium population to equilibrium values is not a simple exponential decay but rather a non-trivial function of time. Nonetheless, by fitting a double exponential function to the decay of the out-of-equilibrium population with time we were able to generate quantitative insights into the time scales involved in the thermalisations.

연구 동기 및 목표

• 강하게 평형 외 상태에 놓인 경우의 시간에 따라 변하는 볼츠만 방정식의 충돌 적분을 수치적으로 안정적이고 효율적으로 해석할 수 있는 해법기를 개발하기 위해.
• 2D 물질에서 전자 열적 평형화를 시뮬레이션할 때 평형에 가까운 근사나 비례 시간 근사에 의존하지 않도록 하기 위해.
• 도핑된 그래핀과 같은 2D 시스템에서 초고속 열적 평형화 동역학을 실제 밴드 구조와 산란 진폭을 사용하여 정확하게 시뮬레이션할 수 있도록 하기 위해.
• 테라헤르츠 및 초고속 광학 분야에서 관련된 새로운 2D 물질에서 비평형 캐리어 동역학을 연구하기 위한 견고한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 충돌 연산자를 선형화하지 않고 시간에 따라 변하는 볼츠만 방정식의 다차원 산란 적분을 계산하기 위한 수치 알고리즘을 개발하였다.
• 철저한 적분 및 이산화 기법을 통해 입자 수, 운동량, 에너지의 정확한 보존을 확보하였다.
• 수치 오차를 줄이고 안정성을 향상시키기 위해 2차 운동량 이산화를 구현하였다.
• 정확도를 유지하고 시간 진동 중 비물리적 인구 값이 발생하지 않도록 적응형 시간 간격을 적용하였다.
• 파울리 배제 통계에서 기인하는 전체 4차 충돌 연산자를 다루며, 모든 위상공간 요소와 운동량 보존을 델타 함수를 통해 처리하였다.
• 실제 전자 밴드 구조와 산란 진폭을 사용하여, 도핑된 그래핀이라는 2D 모델 시스템에서 방법을 검증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평형에 가까운 가정 없이 도핑된 그래핀과 같은 2D 물질에서 평형 외 전자 진동자가 어떻게 열적 평형에 도달하는가?
• RQ2 비평형 인구의 시간적 변화는 어떻게 되며, 단순 지수 감쇠를 따르는가?
• RQ3 시스템의 초기 에너지에 따라 열적 평형 속도는 어떻게 달라지는가?
• RQ4 이중지수 함수가 복잡한 열적 평형 과정의 시간 진동을 정확하게 기술할 수 있는가?
• RQ5 초고속 자극 조건에서 2D 물질의 전자 열적 평형화를 주도하는 주요 시간 상수는 무엇인가?

주요 결과

• 도핑된 그래핀에서 높은 에너지 상태의 진동자가 낮은 에너지 상태의 진동자보다 더 빨리 열적 평형에 도달함을 확인하여, 이완 동역학의 강한 에너지 의존성을 시사한다.
• 비평형 인구의 열적 평형화 과정은 단순 지수 감쇠를 따르지 않으며, 복잡하고 비트리비얼한 시간 진동을 보인다.
• 이중지수 함수는 비평형 인구의 감쇠를 뛰어나게 잘 맞추며, 여러 개의 이완 시간 상수를 정량적으로 추출할 수 있게 한다.
• 수치 해법기는 모든 시뮬레이션 단계에서 입자 수, 운동량, 에너지를 정확히 보존하며, 수치적 불안정성에 대해 매우 견고함을 입증한다.
• 이 방법은 평형에 가까운 근사나 비례 시간 가정 없이 작동하여 강하게 평형 외 상태의 동역학을 정확하게 시뮬레이션할 수 있다.
• 해법기는 실제 밴드 구조와 산란 진폭을 처리할 수 있어, 그래핀과 같은 2D 물질에서 초고속 현상을 연구하는 데 적합하다.