[논문 리뷰] Numerical study of the transverse stability of NLS soliton solutions in several classes of NLS type equations

K. Roidot, Norbert J. Mauser|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 21.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 43인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고정밀 스펙트럼 방법과 푸리에 분석을 사용하여 2차원 편미분방정식에 대한 1차원 입자형 비선형 슈뢰딩거(NLS) 솔리톤의 횡방향 안정성을 수치적으로 조사한다. 연구 결과, 쌍곡 2차원 NLS 및 DS II 방정식에서 국소적 페르터베이션에 의해 솔리톤은 산란을 통해 불안정해지지만, DS II에서는 국소적 페르터베이션에 대해 궤도 안정성을 유지하며, 모든 모델에서 주기적 페르터베이션에 의해 불안정해지는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

Dispersive PDEs are important both in applications (wave phenomena e.g. in hy- drodynamics, nonlinear optics, plasma physics, Bose-Einstein condensates,...) and a mathematically very challenging class of partial differential equations, especially in the time dependent case. An important point with respect to applications is the stability of exact solutions like solitons. Whereas the linear or spectral stability can be addressed analytically in some situations, the proof of full nonlinear (in-)stability remains mostly an open question. In this paper, we numerically investi- gate the transverse (in-)stability of the solitonic solution to the one-dimensional cubic NLS equation, the well known isolated soliton, under the time evolution of several higher dimensional models, being admissible as a tranverse perturbation of the 1d cubic NLS. One of the recent work in this context [42] allowed to prove the instability of the soliton, under the flow of the classical (elliptic) 2d cubic NLS equation, for both localized or periodic perturbations. The characteristics of this instability stay however unknown. Is there a blow-up, dispersion..? We first illustrate how this instability occurs for the elliptic 2d cubic NLS equation and then show that the elliptic-elliptic Davey Stewartson system (a (2+1)-dimensional generalization of the cubic NLS equation) behaves as the former in this context. Then we investigate hyperbolic variants of the above models, for which no theory in this context is available. Namely we consider the hyperbolic 2d cubic NLS equation and the Davey-Stewartson II equations. For localized perturbations, the isolated soliton appears to be unstable for the former case, but seems to be orbitally stable for the latter. For periodic perturbations the soliton is found to be unstable for all transversally perturbed models considered.

연구 동기 및 목표

• 1차원 입자형 비선형 슈뢰딩거(NLS) 솔리톤의 시간 진화에서 고차원 모델 내에서의 비선형 횡안정성을 조사하기 위해.
• 해석적 이론의 부재로 인해 2차원 타원형 NLS 및 관련 시스템에서의 불안정성이 폭발 또는 산란을 통해 발생하는지 규명하기 위해.
• 타원형 및 쌍곡형 NLS 유형 방정식의 두 변형에서 국소적 및 주기적 횡방향 페르터베이션에 따른 솔리톤의 거동를 비교하기 위해.
• 해석적 결과가 없는 쌍곡형 DS II 방정식에서 솔리톤의 궤도 안정성을 평가하기 위해.
• 푸리에 계수의 감쇠 및 에너지 보존 검증을 통한 수치 정확도 검증하기 위해.

제안 방법

• 고정밀 공간 해상도를 확보하기 위해 산란 편미분방정식에 대해 4차 시간 스텝 스킴을 사용한 수치적 시간 적분.
• 일반적인 플로팅 포인트 정밀도를 초월하는 고정밀도 및 고해상도를 확보하기 위해 푸리에 스펙트럼 이산화를 사용한 스펙트럼 방법의 적용.
• 잠재적 특이점 형성 및 폭발 행동 탐지에 푸리에 계수의 渐近적 행동을 활용.
• 해결의 정확도 및 안정성 수치 지표로 에너지 보존 검증을 실시.
• 초기 조건이 $ u(x,y,0) = u_I(x) + \text{perturbation} $ 형태인 경우, 국소적 및 주기적 횡방향 페르터베이션에 따른 해의 진화를 비교.
• 장기적 행동 및 안정성 특성 평가를 위해 $ L_∞ $-노름 및 푸리에 계수 감쇠 분석을 실시.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 입자형 NLS의 고립 솔리톤은 2차원 타원형 입자형 NLS 방정식에서 횡방향 페르터베이션에 대해 안정성을 유지하는가?
• RQ2 2차원 타원형 NLS에서의 불안정성의 성격은 무엇인가? 폭발인지, 산란인지?
• RQ3 쌍곡형 NLS 유형 방정식에서 솔리톤의 횡안정성은 타원형과 어떻게 다를까?
• RQ4 쌍곡형 DS II 방정식에서 국소적 페르터베이션에 대해 솔리톤은 궤도 안정성을 유지하는가?
• RQ5 모든 고려된 모델에서 주기적 횡방향 페르터베이션은 솔리톤의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 2차원 타원형 입자형 NLS에서 국소적 페르터베이션은 단일 공간 점에서 $ L_∞ $-노름의 유한시간 폭발을 유도하며 불안정해진다.
• 2차원 타원형 NLS에서 주기적 페르터베이션은 다중 폭발점으로 이어지며, [42]에서 관측된 불안정성과 일치한다.
• 타원-타원 디브비-스튜어트슨 시스템은 2차원 타원형 NLS와 동일한 불안정성 특성을 보이며, 국소적 및 주기적 페르터베이션 모두에서 폭발을 경험한다.
• 쌍곡 2차원 입자형 NLS에서 솔리톤은 국소적 및 주기적 페르터베이션 모두에 대해 불안정하며, 해의 산란을 통해 불안정성이 발생한다.
• DS II 방정식에서는 국소적 페르터베이션에 대해 솔리톤이 강건하게 유지되며, 페르터베이션은 흩어지고 솔리톤의 형태, 진폭, 속도는 그대로 유지된다—이는 궤도 안정성을 시사한다.
• 주기적 페르터베이션의 경우 DS II 방정식 역시 불안정성을 초래하며, $ L_∞ $-노름이 증가하고 푸리에 계수는 $ 10^{-12} $ 수준으로 감쇠되어 공명성의 상실을 나타낸다.