[논문 리뷰] Numerical verification of the Cohen-Lenstra-Martinet heuristics and of Greenberg's $p$-rationality conjecture

Razvan Barbulescu, Jishnu Ray|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 코hen-렌스트라-마르티네트 히وري스틱과 호프만-장의 $p$-진 레귤레이터에 대한 추측을 활용하여 다중이차 및 다중세제곱 수체에 대한 그린버그의 $p$-유리성 추측에 대한 수치적 검증을 제공한다. 이는 $p$-유리성 이차 수체의 무한한 가족을 구성하고, 순환 삼차 수체에서 단위를 계산하기 위한 새로운 알고리즘을 제시함으로써 $p$-유리성 수체 탐색의 계산 효율성을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

In this paper we make a series of numerical experiments to support Greenberg's $p$-rationality conjecture, we present a family of $p$-rational biquadratic fields and we find new examples of $p$-rational multiquadratic fields. In the case of multiquadratic and multicubic fields we show that the conjecture is a consequence of the Cohen-Lenstra-Martinet heuristic and of the conjecture of Hofmann and Zhang on the $p$-adic regulator, and we bring new numerical data to support the extensions of these conjectures. We compare the known algorithmic tools and propose some improvements.

연구 동기 및 목표

• 그린버그의 유한 아벨 군 $G$와 소수 $p$에 대해 $p$-유리성 수체의 존재를 지지하는 수치적 증거를 제공하는 것.
• 모든 소수 $p \in [5, 97]$ 및 $t \in [7, 11]$에 대해 $t$가 $p$에 따라 달라지는 조건을 만족하는 $p$-유리성 이중이차 수체의 무한한 가족을 구성하는 것.
• 다중이차 및 다중세제곱 수체의 $p$-유리성은 코헨-렌스트라-마르티네르 히وري스틱과 호프만-장의 $p$-진 레귤레이터에 대한 추측에 따라 유도됨을 보여주어 이론적 틀을 확장하는 것.
• 특히 순환 삼차 수체 및 다중이차 수체에서 단위 및 $p$-주기적 단위를 계산하기 위한 알고리즘 도구를 개선하는 것.
• 최적화된 계산 방법을 통해 고차수의 $p$-유리성 다중이차 수체의 새로운 예를 생성하는 것.

제안 방법

• 모바헤디와 낭옌 쿼앙 도의 특성화에 기반하여, $p$-유리성과 갈로아 군 $\mathrm{Gal}(K_{S_p}/K)^{\text{ab}}$ 내의 토크션 부분군 $\mathcal{T}_p$ 의 자명성 사이의 동치성을 활용한다.
• 수체 $K$가 $p$-유리성임은 물론, $\mu(K)_p \to \prod_{\mathfrak{p} \in S_p} \mu(K_\mathfrak{p})_p$ 사상이 동형이며, $p$-거듭제곱 단위 조건이 만족될 때에만 성립한다는 기준을 적용한다.
• 로그 임베딩을 통해 유닛으로부터 구성된 행렬 $M(U)$ 의 질량을 이용해 $p$-주기적 단위의 존재 여부를 시험하기 위해 실로카우어 맵을 적용한다.
• 순환 삼차 수체에서 단위를 계산하기 위한 새로운 알고리즘을 도입하며, 이는 차수 $q$에 대해 $\ell \equiv 1 \mod q$ 를 만족하는 도함수의 소인수 $\ell$ 를 활용하여, 소 아이디얼 $\mathfrak{l}$ 이 주 아이디얼일 경우에 비율 $\sigma(\omega)/\omega$ 로 단위를 생성한다.
• LLL 감소를 이용해 소 아이디얼의 생성자를 찾고, 아이디얼이 주 아이디얼일 경우에 효율적으로 단위를 구성한다.
• 기존 알고리즘과 비교하여 다중이차 및 다중세제곱 수체에 특화된 최적화를 제안함으로써 $p$-유리성 수체 탐색 속도를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그린버그의 $p$-유리성 추측은 모든 유한 아벨 군 $G$ 와 소수 $p$ 에 대해 성립하는가?
• RQ2 코헨-렌스트라-마르티네르 히وري스틱과 호프만-장의 $p$-진 레귤레이터에 대한 추측이 함께 작용하여 다중이차 및 다중세제곱 수체의 $p$-유리성 존재를 유도할 수 있는가?
• RQ3 순환 삼차 수체 중에서 소수 $\ell \equiv 1 \mod q$ 에 대해 위상이 주 아이디얼인 경우가 차지하는 비율은 얼마이며, 이는 새로운 알고리즘을 통한 효율적 단위 계산을 가능하게 하는가?
• RQ4 기존의 부흐만 방법 대비 새로운 알고리즘이 $p$-유리성 수체 탐색에서 계산 시간을 얼마나 줄이는가?
• RQ5 각 $p \in [5, 97]$ 및 $t \in [7, 11]$ 에 대해 구성된 이중이차 수체의 가족 내에서 무한히 많은 $p$-유리성 수체가 존재하는가?

주요 결과

• 저자들은 모든 소수 $p \in [5, 97]$ 와 $t \in [7, 11]$ 에 대해 $t$ 가 $p$ 에 따라 달라지는 조건을 만족하는 $p$-유리성 이중이차 수체의 무한한 가족을 구성하였으며, 각 쌍에 대해 명시적인 예를 제공하였다.
• 다중이차 및 다중세제곱 수체의 경우, $p$-유리성은 코헨-렌스트라-마르티네르 히وري스틱과 호프만-장의 $p$-진 레귤레이터에 대한 추측에 따라 유도됨을 보여주어 수치적 관찰에 대한 이론적 기반을 제공하였다.
• 순환 삼차 수체에서 단위를 계산하기 위한 새로운 알고리즘은 시험한 경우의 43.1% (총 630개의 수체 중 272개) 에서 성공하였으며, 아이디얼 $\mathfrak{l}$ 이 주 아이디얼일 경우에 계산 시간을 크게 단축시켰다.
• SageMath에서의 알고리즘 구현은 이 방법이 대규모 $p$-유리성 수체 탐색에 실용적이고 확장 가능함을 보여주었다.
• 논문은 고차수의 다중이차 수체의 $p$-유리성에 대한 광범위한 수치 데이터를 제공하며 확장된 추측을 지지하였다.
• 저자들은 실로카우어 맵과 아이디얼 인수분해, LLL 감소를 결합하여 존재하는 알고리즘을 개선함으로써, $p$-주기적 단위의 신속한 탐지와 $p$-유리성의 더 효율적인 검증을 가능하게 하였다.