[논문 리뷰] Numerical wave propagation for the triangular $P1_{DG}$-$P2$ finite element pair

Colin J. Cotter|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 17.

Geophysics and Gravity Measurements인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 삼각형 메esh에서 선형화된 회전하는 얕은 수면 방정식에 대해 $P1_{DG}$-$P2$ 유한요소 쌍의 수치적 파동 전파 성질을 분석한다. 이산 헬름홀츠 분해를 통해 방법이 관성-중력파와 로시에 파동에 대해 세 번째 차수의 공간 정확도를 달성하며, 전파되지 않는 잡음 관성 진동만 존재함을 보이며, 이러한 모드를 완전히 제거하기 위해 속도 공간 제약 조건을 제안한다.

ABSTRACT

Inertia-gravity mode and Rossby mode dispersion properties are examined for discretisations of the linearized rotating shallow-water equations using the $P1_{DG}$-$P2$ finite element pair on arbitrary triangulations in planar geometry. A discrete Helmholtz decomposition of the functions in the velocity space based on potentials taken from the pressure space is used to provide a complete description of the numerical wave propagation for the discretised equations. In the $f$-plane case, this decomposition is used to obtain decoupled equations for the geostrophic modes, the inertia-gravity modes, and the inertial oscillations. As has been noticed previously, the geostrophic modes are steady. The Helmholtz decomposition is used to show that the resulting inertia-gravity wave equation is third-order accurate in space. In general the \pdgp finite element pair is second-order accurate, so this leads to very accurate wave propagation. It is further shown that the only spurious modes supported by this discretisation are spurious inertial oscillations which have frequency $f$, and which do not propagate. The Helmholtz decomposition also allows a simple derivation of the quasi-geostrophic limit of the discretised $P1_{DG}$-$P2$ equations in the $β$-plane case, resulting in a Rossby wave equation which is also third-order accurate.

연구 동기 및 목표

• 비정렬 삼각형 메esh에서 선형화된 회전하는 얕은 수면 방정식에 대해 $P1_{DG}$-$P2$ 유한요소 쌍의 파동 전파 거동을 분석하는 것.
• 특히 비정렬 격자에서 지구물리 유체역학을 위한 혼합 유한요소 방법에서 발생하는 잡음 모드 문제를 다루는 것.
• $P1_{DG}$-$P2$ 쌍이 전파되지 않는 잡음 관성 진동 외에는 어떠한 모드도 지지하지 않음을 보여주고, 이를 속도 공간 제약 조건을 통해 제거할 수 있음을 보여주는 것.
• 관성-중력파와 로시에 파동에 대해 방법이 세 번째 차수의 공간 정확도를 달성하며, 파동 분산 특성을 향상시킴을 보여주는 것.
• 지구적 평형 상태를 유지하고 정확한 파동 표현을 보장함으로써, 적응형 메쉬 정밀도 및 수치 기상 예측에 응용 가능한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 지오스트로피, 관성-중력, 관성 모드를 분리하기 위해 $P2$ 압력 공간에서 유도된 잠재함수를 사용한 이산 헬름홀츠 분해를 적용하여 속도 공간을 분해한다.
• 이산 관성-중력파 방정식을 유도하여 $P2$ 연속 유한요소 방법과 동치임을 보이며, 세 번째 차수의 공간 정확도를 확립한다.
• $\beta$-평면 경우를 정규 지구적 평형 근사에 기반해 분석하여, 유도된 로시에 파동 방정식이 역시 세 번째 차수 정확도를 가짐을 보여준다.
• 비지오스트로피 성분을 제거함으로써 잡음 관성 진동을 완전히 제거할 수 있는 제약된 $P1_{DG}$ 속도 공간($H(P2)$)을 제안한다.
• 등변 삼각형 메쉬에서 수치적 분산 분석을 수행하여 분산 관계의 정확도를 검증한다.
• 파동 정확도와 지구적 평형 상태를 유지하면서도 효율성을 확보하기 위해 질량 럼핑 기법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정렬 삼각형 메쉬에서 $P1_{DG}$-$P2$ 유한요소 쌍의 관성-중력파 및 로시에 파동 전파 정확도는 어느 정도인가?
• RQ2 $P1_{DG}$-$P2$ 이산화에서 잡음 모드가 존재하는지, 존재한다면 그 모드는 파동 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이산 헬름홀츠 분해를 통해 물리적 모드와 잡음 모드를 분리하고 정확한 파동 방정식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 $P1_{DG}$-$P2$ 방법이 파동 전파에 대해 세 번째 차수의 공간 정확도를 달성하는가? 그리고 기존의 두 번째 차수 방법과 비교해 볼 때 어떤가?
• RQ5 속도 공간 제약 조건을 통해 잡음 관성 진동을 제거할 수 있는가? 이로 인해 지구적 평형 상태나 파동 정확도가 손상되는가?

주요 결과

• $P1_{DG}$-$P2$ 유한요소 쌍은 관성-중력파와 로시에 파동 전파에 대해 세 번째 차수의 공간 정확도를 달성하며, 기존의 두 번째 차수 방법에 비해 분산 정확도를 크게 향상시킨다.
• 존재하는 유일한 잡음 모드는 주파수 $f$에서 전파되지 않는 관성 진동이며, 물리적 파동 모드와 분리되어 지구적 평형 상태에 영향을 주지 않는다.
• 제약된 속도 공간($H(P2)$)을 정의함으로써 잡음 관성 진동을 완전히 제거할 수 있으며, 이는 어떠한 잡음 모드도 없는 방법이 된다.
• $P1_{DG}$-$P2$ 이산화의 정규 지구적 평형 근사에서 유도된 로시에 파동 방정식은 $P2$ 연속 유한요소 방법과 정확히 일치하며, 세 번째 차수 정확도를 확인한다.
• 이 방법은 안정된 지구적 평형 모드를 유지하며, 임의의 비정렬 삼각형 격자에서도 정확한 파동 표현을 유지한다.
• 질량 럼핑은 분산 관계에 미미한 영향을 미치며, 파동 정확도를 유지하면서 효율적인 시간 적분을 가능하게 한다.