[논문 리뷰] Nyldon words

Émilie Charlier, Manon Philibert외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 25.

semigroups and automata theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 유한 단어의 고유한 사전순 비감소 분해로 정의되는 새로운 단어의 가족인 Nyldon 단어를 소개한다. 이는 Lyndon 단어와 쌍대적인 관계에 있으며, 감소하는 사전순 순서에서 자유 모노이드의 완전한 분해를 이룬다. 또한 Nyldon 단어가 오른쪽 Lazard 집합을 이룬다는 것을 증명하며, 단어 조합론의 분해 이론을 확장한다.

ABSTRACT

The Chen-Fox-Lyndon theorem states that every finite word over a fixed alphabet can be uniquely factorized as a lexicographically nonincreasing sequence of Lyndon words. This theorem can be used to define the family of Lyndon words in a recursive way. If the lexicographic order is reversed in this definition, we obtain a new family of words, which are called the Nyldon words. In this paper, we show that every finite word can be uniquely factorized into a lexicographically nondecreasing sequence of Nyldon words. Otherwise stated, Nyldon words form a complete factorization of the free monoid with respect to the decreasing lexicographic order. Then we investigate this new family of words. In particular, we show that Nyldon words form a right Lazard set.

연구 동기 및 목표

• 역사전순 순서에서 Lyndon 단어의 쌍대체로 작용하는 새로운 단어의 가족인 Nyldon 단어를 정의하는 것.
• 모든 유한 단어가 Nyldon 단어의 사전순 비감소 수열로 고유하게 분해될 수 있음을 증명하는 것.
• Nyldon 단어의 구조적 및 대수적 성질, 특히 분해 이론에서의 역할을 조사하는 것.
• Nyldon 단어가 오른쪽 Lazard 집합을 이룬다는 것을 확립하여, 자유 모노이드에서 알려진 Lazard 집합 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 표준 Lyndon 단어 정의의 역을 취한 재귀적 구성 방법을 통해 Nyldon 단어를 정의하며, 사전순 비감소 분해를 사용한다.
• Chen-Fox-Lyndon 정리를 기초로 삼고, 사전순 순서를 뒤집어 새로운 가족을 생성한다.
• 단어 순서에 대한 조합론적 추론을 통해 Nyldon 단어로의 비감소 분해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 접두사 자유 생성과 분해 닫힘 성질을 확인하여 Nyldon 단어 집합이 오른쪽 Lazard 집합 조건을 만족함을 입증한다.
• 기존의 Lazard 집합 이론을 적용하여, Nyldon 단어가 반복적인 오른쪽 분지 구조를 통해 자유 모노이드를 생성함을 보인다.
• Lyndon 단어와 Nyldon 단어 간의 쌍대성에 기반해, 잘 알려진 Lyndon 분해의 구조적 통찰을 새로운 가족으로 이행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유한 단어가 Nyldon 단어의 사전순 비감소 수열로 고유하게 분해될 수 있는가?
• RQ2 사전순 순서의 쌍대성 하에서 Nyldon 단어의 구조는 Lyndon 단어와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 감소하는 사전순 순서에서 자유 모노이드에 대해 Nyldon 단어가 완전한 분해 체계를 이룬다 할 수 있는가?
• RQ4 Nyldon 단어 집합은 오른쪽 Lazard 집합인가? 만약 그렇다면, 이 분류를 뒷받침하는 성질은 무엇인가?
• RQ5 Nyldon 단어로의 비감소 분해에서 어떤 대수적 및 조합론적 성질이 도출되는가?

주요 결과

• 모든 유한 단어는 Nyldon 단어의 사전순 비감소 수열로 고유하게 분해되며, 이는 자유 모노이드에 대한 완전한 분해 기반을 확립한다.
• Nyldon 단어는 사전순 순서를 뒤집은 조건에서 Lyndon 단어의 쌍대체로 정의되며, 이로 인해 비증가 분해 성질을 가진다.
• Nyldon 단어의 가족은 오른쪽 Lazard 집합을 이룬다. 즉, 분해 완전성을 유지하는 오른쪽 분지 알고리즘을 통해 생성될 수 있다.
• Nyldon 단어의 구성은 집합 내 어떤 단어도 다른 단어의 진부분 접두사가 되지 않음을 보장하여, Lazard 집합의 핵심 조건을 만족한다.
• Nyldon 단어의 고유한 비감소 분해 성질은 잘 알려진 Lyndon 단어의 비증가 분해와 정확히 대칭되며, 단어 조합론에서의 쌍대성을 완성한다.
• 이 결과는 자유 모노이드의 분해 이론을 확장하여, Lyndon 단어와 유사한 구조적 유사성을 지닌 새로운 정규 분해 체계를 도입한다.