[논문 리뷰] $O(N^3)$ Measurement Cost for Variational Quantum Eigensolver on Molecular Hamiltonians

Pranav Gokhale, Frederic T. Chong|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 30.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 조르단-위저 표현을 사용해 양자 해밀토니안을 인코딩한 분자 해밀토니안에서 변량 양자 고유값자(Variational Quantum Eigensolver, VQE)의 측정 비용을 $O(N^4)$에서 $O(N^3)$으로 줄일 수 있음을 증명한다. 이는 4-qubit 파울리 연산자들을 크기 $O(N)$인 교환 가족들로 분할하여 달성된다. 이 방법은 바라냐이 정리와 유량 네트워크를 기반으로 한 구축 증명을 사용하여 $O(N^5 \log N)$ 시간 내에 이러한 분할을 생성하며, 분자의 계수에 의존하지 않는 사전 계산이 가능하다.

ABSTRACT

Variational Quantum Eigensolver (VQE) is a promising algorithm for near-term quantum machines. It can be used to estimate the ground state energy of a molecule by performing separate measurements of $O(N^4)$ terms. Several recent papers observed that this scaling may be reducible to $O(N^3)$ by partitioning the terms into linear-sized commuting families that can be measured simultaneously. We confirm these empirical observations by studying the MIN-COMMUTING-PARTITION problem at the level of the fermionic Hamiltonian and its encoding into qubits. Moreover, we provide a fast, pre-computable procedure for creating linearly-sized commuting partitions by solving a round-robin scheduling problem via flow networks.

연구 동기 및 목표

• 분자 해밀토니안에서 VQE의 높은 측정 비용을 해결하기 위해, 이는 각 파울리 스트링을 별도로 측정해야 하므로 $O(N^4)$로 증가한다.
• 교환 가능한 파울리 스트링을 그룹화하여 동시에 측정할 수 있음을 경험적으로 관찰한 바를 확인하기 위해, $O(N^3)$의 측정 비용이 달성 가능하다는 것을 입증한다.
• 분자의 특정 계수에 의존하지 않고 오직 $N$에만 의존하는, 효율적이고 사전 계산 가능한 방법을 개발하여 이러한 교환 분할을 생성한다.
• 저비용의 고전적 런타임을 갖는 구축 가능한 확장 가능한 솔루션을 제공하여 근접한 양자 우월성을 해치지 않도록 한다.

제안 방법

• 모든 4-qubit 파울리 연산자들을 $O(N^3)$개의 가족으로 분할하여, 각 가족은 크기 $O(N)$이며, 가족 내의 항들이 상호 교환 가능하도록 한다. 이는 바라냐이 정리를 기반으로 한다.
• 분할 문제를 라운드로빈 스케줄링 문제로 모델링하며, $O(N^3)$개의 정점과 $O(N^4)$개의 간선을 가진 유량 네트워크로 표현한다.
• 유량 라운딩 기법을 적용하여 각 반복에서 $O(N^4 \log N)$ 시간 내에 정수 최대 유량을 계산하며, 총 런타임을 $O(N^5 \log N)$으로 줄인다.
• 유량 네트워크 해석을 $N$번 반복하여 수행하며, 각 반복에서 크기가 4인 인덱스의 $N/4$개의 서로소 부분집합을 생성한다.
• 결과적으로 생성된 교환 가족들은 공통 고유기저를 사용하여 동시에 측정할 수 있으며, 이는 오직 $O(N)$개의 양자 게이트로만 요구된다.
• 이 방법은 사전 계산 가능하다: 분할은 분자의 특정 $h_{pq}$ 또는 $h_{pqrs}$ 계수에 의존하지 않으며, $N$에만 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분자 해밀토니안에서 조르단-위저 표현을 사용한 VQE의 $O(N^4)$ 측정 비용을, 교환 분할을 통해 엄밀히 $O(N^3)$으로 줄일 수 있는가?
• RQ2 분자의 특정 매개변수에 의존하지 않는, 구축 가능하고 효율적인 방법으로 이러한 분할을 생성할 수 있는가?
• RQ3 분할의 고전적 비용을 충분히 낮출 수 있을까? 이를 통해 근접한 VQE 구현에서 양자 우월성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 바라냐이 정리와 유량 네트워크를 사용하면 임의의 $N$-큐비트 분자 시스템에 대해 확장 가능하고 사전 계산 가능한 분할을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 조르단-위저로 인코딩된 분자 해밀토니안에서 VQE의 측정 비용은 파울리 항들을 교환 가족으로 묶음으로써 엄밀히 $O(N^4)$에서 $O(N^3)$으로 줄일 수 있다.
• 각 교환 가족에는 $O(N)$개의 항이 포함되어 있어 동시에 측정이 가능하며, 이는 필요한 측정 라운드 수를 $O(N^3)$으로 줄인다.
• 바라냐이 정리를 기반으로 한 유량 네트워크 기반 구현을 통해 $O(N^5 \log N)$ 시간 내에 분할을 구성할 수 있으며, 이는 임의의 $N$에 대해 사전 계산 가능한 것이다.
• 이 방법은 특정 $h_{pq}$ 또는 $h_{pqrs}$ 계수에 의존하지 않기 때문에, 동일한 분할을 모든 $N$-큐비트 분자 해밀토니안에 재사용할 수 있다.
• 동시 측정 회로는 공통 고유기저가 4큐비트 블록의 텐서곱이므로 오직 $O(N)$개의 양자 게이트로만 요구된다.
• 이 접근법은 측정 비용의 점근적 감소를 가능하게 하며, 최적화된 트로터화를 통한 해밀토니안 시뮬레이션과 같은 다른 양자 화학 작업에도 기여할 수 있다.