[논문 리뷰] Oberwolfach Report: Spacetime Intrinsic Flat Convergence

Christina Sormani|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 22.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 우주론적 시간 함수를 사용하여 영점 거리 함수를 정의함으로써 시공간 내재 평탄도(SF) 수렴을 도입한다. 이는 로레츠시안 시공간에 내재 평탄도 수렴을 적용할 수 있게 하며, 극한에서 인과성이 유지됨을 보장하여 빅뱅 및 블랙홀 시공간에 대한 컴팩트니스 정리와 안정성 결과를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This Oberwolfach report describes published work with Carlos Vega introducing the null distance on a spacetime, and announces unpublished applications of this work jointly with Carlos Vega and with Anna Sakovich applying the null distance to define a spacetime intrinsic flat convergence (SF convergence). The announced work with Vega concerns convergence of sequences of big bang spacetimes and the announced work with Anna Sakovich concerns convergence of future maximal developments of initial data sets. Both were originally announced at the 2018 JMM. This report lists some open questions that will be discussed at the Oberwolfach meeting this coming August.

연구 동기 및 목표

• 내재 평탄도 수렴과 유사한 시공간 수렴의 개념을 개발하여, 장시간 얇은 중력 우물이나 특이점을 포함하는 수열에 적합하게 하기 위해.
• 내재 평탄도 수렴을 로레츠시안 다양체에 적용하는 데 도전하는 바, 메트릭 공간의 구조가 없고 표준 등장각 임bedding을 사용할 수 없기 때문이다.
• 규칙적인 우주론적 시간 함수로부터 유도된 영점 거리 함수를 사용하여 시공간 내재 평탄도 거리 $ d_{\mathcal{SF}} $ 를 정의함으로써, 극한에서 인과성이 유지되도록 보장하기 위해.
• 영점 거리 $\hat{d}_{\tau}$ 가 인과성을 포함하는 메트릭 공간을 정의할 조건을 확립하여, 로레츠시안 기하학에서 적분 컨베이언트 공간을 사용할 수 있도록 하기 위해.
• 빅뱅 및 최대 발전 시공간의 수열에 대해 SF 수렴 하에서 컴팩트니스 정리를 증명하고, 그 극한이 인과성 구조를 포함하는 적분 컨베이언트 공간이 되도록 하기 위해.

제안 방법

• 시간 함수 $\tau$ 를 사용하여 영점 거리 함수 $\hat{d}_{\tau}(p,q) = \inf_{\beta} \sum_{i=1}^{k} |\tau(\beta(t_i)) - \tau(\beta(t_{i+1}))| $ 를 정의한다. 여기서 $\beta$ 는 $p$ 에서 $q$ 로 향하는 조각별 인과적 곡선을 뜻한다.
• 유한한 $M$ 에서 정의되고, 과거 무한 연장 곡선을 따라 0으로 수렴하는 규칙적인 우주론적 시간 함수 $\tau$ 를 사용하여 $\hat{d}_{\tau}$ 가 메트릭 공간을 정의하도록 보장한다.
• $\hat{d}_{\tau}$ 가 인과성을 포함함을 증명한다: $p$ 가 $q$ 의 미래에 있을 때이고 뿐일 때 $\hat{d}_{\tau}(p,q) = \tau(p) - \tau(q)$ 를 만족하며, 이는 정의성과 메트릭 구조를 암시한다.
• 정규 $\tau$ 를 가진 시공간에서 메트릭 공간 $ (X, \hat{d}_{\tau}) $ 를 구성함으로써, 적분 컨베이언트 공간의 구조 정의를 가능하게 한다.
• 결과로 얻어진 적분 컨베이언트 공간 간의 $\mathcal{F} $-거리와 같은 방식으로 시공간 내재 평탄도 거리 $ d_{\mathcal{SF}} $ 를 정의한다. 이를 위해 공통의 메트릭 공간 $Z$ 에 대한 등장각 임베딩을 사용한다.
• 이론을 빅뱅 시공간(예: FLRW)과 미래 최대 발전에 적용하여, 빅뱅 점 $p_{BB}$ 가 메트릭 완비화에 존재하고 $\tau(p) = \hat{d}_{\tau}(p_{BB}, p)$ 를 만족함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 로레츠시안 다양체가 영점 거리 $\hat{d}_{\tau}$ 가 메트릭 공간을 정의할 수 있도록 하는 규칙적인 우주론적 시간 함수를 가질 수 있는가?
• RQ2 영점 거리 $\hat{d}_{\tau}$ 가 인과성을 포함하는 조건은 무엇인가? 즉, $p$ 가 $q$ 의 미래에 있을 때이고 뿐일 때 $\hat{d}_{\tau}(p,q) = \tau(p) - \tau(q)$ 를 만족하는가?
• RQ3 초기 데이터 세트의 미래 최대 발전은 초기 카우치 표면에서 0으로 수렴하는 우주론적 시간 함수를 가지며, 이로 인해 영점 거리가 인과성을 포함하는가?
• RQ4 $\mathcal{SF}$ 수렴 프레임워크를 사용하여 질량이 0으로 수렴하는 블랙홀 시공간의 수열에 대해 컴팩트니스 정리를 증명할 수 있는가?
• RQ5 최대 분할 또는 다른 기하학적 흐름 기반의 시간 함수와 같은 대체적인 표준 시간 함수들이 아인슈타인 방정식의 미래 최대 발전을 연구하는 데 더 적합한가?

주요 결과

• Anderson-Howard-Galloway가 정의한 바와 같이, $\tau$ 가 규칙적인 우주론적 시간 함수일 경우 영점 거리 $\hat{d}_{\tau}$ 는 메트릭 공간을 정의한다.
• 영점 거리 $\hat{d}_{\tau}$ 가 인과성을 포함할 경우, 정의성이 보장되어 진정한 메트릭을 정의하며, 이는 공간이 내재 평탄도 수렴에 적합함을 보장한다.
• FLRW 빅뱅 시공간에서 $\tau = t$ 라면, 메트릭 완비화 $\bar{X}$ 는 유일한 빅뱅 점 $p_{BB}$ 를 포함하며, $\tau(p) = \hat{d}_{\tau}(p_{BB}, p)$ 를 만족한다.
• 이러한 시공간에 대해 $p_{BB}$ 를 기준점으로 하는 지-pointed $\mathcal{F}$-수렴은 잘 정의되며, 극한은 영점 거리에 의해 인과성 구조가 포함된 적분 컨베이언트 공간이 된다.
• 이 방법을 통해 $\mathcal{SF}$ 수렴 하에서 빅뱅 시공간의 수열에 대해 컴팩트니스 정리를 증명할 수 있으며, 극한은 적분 컨베이언트 공간이 된다.
• 질량이 0으로 수렴하는 블랙홀 시공간의 수열은 $\mathcal{SF}$ 수렴 방식으로 수렴할 것으로 추측되며, 영점 거리가 인과성을 유지함으로써 양질량 정리와 펜로즈 부등식의 안정성 결과를 도출할 수 있다.