[논문 리뷰] Oblique boundary value problems for augmented Hessian equations III

Feida Jiang, Neil S. Trudinger|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 45인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 도메인의 볼록성 조건 없이 일반 유계 영역에서 비퇴화 및 퇴화된 증강 헤시안 방정식에 대한 반선형 기울기 경계값 문제에 대해 전역 리프시츠 및 내부 $C^{1,1}$ 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 국소적 제2차 도함수 추정과 복사성 비교 원리를 도출함으로써, 저자들은 균일 볼록성 조건이 만족되는 경계점 근처에서 해가 더 높은 정규성을 갖는다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In bounded domains, without any geometric conditions, we study the existence and uniqueness of globally Lipschitz and interior strong C^{1,1}, (and classical C^2), solutions of general semilinear oblique boundary value problems for degenerate, (and non-degenerate), augmented Hessian equations, with strictly regular associated matrix functions. By establishing local second derivative estimates at the boundary and proving viscosity comparison principles, we show that the solution is correspondingly smooth near boundary points where the appropriate uniform convexity is satisfied.

연구 동기 및 목표

• 일반 유계 영역에서 기하적 제약 조건 없이 증강 헤시안 방정식을 포함하는 반선형 기울기 경계값 문제에 대한 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 도메인과 데이터에 대한 최소한의 가정 하에 해가 전역 리프시츠이면서 내부 $C^{1,1}$ 정규성을 갖는다는 것을 증명하는 것.
• 균일 볼록성 조건 하에서 경계에서 국소적 제2차 도함수 추정을 도출하여, 경계점 근처에서의 더 높은 정규성 가능성을 확보하는 것.
• 복사성 비교 원리 도입과 연산자 $F$에 대한 가정의 정밀화를 통해 퇴화된 경우의 이론을 확장하는 것.
• 이전 결과를 일반화하기 위해 도메인의 볼록성 가정을 제거하고 엄격하게 정규화된 행렬 함수 $A$로 확장하는 것.

제안 방법

• 증강 헤시안 연산자 $\mathcal{F}[u] = F(D^2u - A(\cdot,u,Du))$의 구조와 장벽 구성 기법을 사용하여 경계에서 국소적 제2차 도함수 추정을 도출한다.
• 다른 $F$에 대한 가정 하에 $C^{1,1}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$ 및 $C^{2}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$ 해에 대한 복사성 비교 원리를 수립한다.
• 에프실론-편항을 가진 정규화된 문제를 사용하여 근사 해 $u_\epsilon$를 구성한 후, $\epsilon \to 0$으로의 극한을 취함으로써 전역 정규성을 회복한다.
• $\varphi$가 $z$에 대해 엄격하게 증가할 경우, 이전 연구에서 유도된 엄격한 하부해법과 장벽 기법을 적용하여 비교 원리를 증명한다.
• F1(엄격 증가), F2(볼록성), F3(범위 조건), F4(무한대에서의 성장), 그리고 F5(방향 도함수에 대한 균일 하한)의 개선된 형태를 가정한다.
• 직교 불변 구조와 $A$의 엄격한 정규성 조건을 활용하여 비퇴화 경우를 초월한 결과를 확장하며, $a_0 = -\infty$의 경우에도 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 유계 영역에서 퇴화된 증강 헤시안 방정식을 포함하는 반선형 기울기 경계값 문제에 대해 어떤 조건에서 해가 존재하는가?
• RQ2 도메인의 볼록성 조건 없이 경계에서 국소적 제2차 도함수 추정을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 기울기 경계 조건이 존재하는 상황에서 $C^{1,1}$ 및 $C^2$ 해의 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 복사성 해 이론이 어떤 경우에 고전적 $C^{1,1}$ 또는 $C^{2}$ 해로 확장되는가?
• RQ5 국소적 균일 볼록성이 만족될 경우, 해의 정규성이 내부에서 경계로 어떻게 전파되는가?

주요 결과

• F1 조건 하에서, 퇴화된 경우를 포함하여 해는 클래스 $C^{1,1}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$ 내에 존재하고 유일하다.
• 비퇴화된 경우에 F1 조건 하에서 해는 $C^{2,\alpha}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$이며, $\alpha \in (0,1)$이다.
• 균일 $(\Gamma,A,G)$-볼록성이 만족되는 임의의 경계점 $x_0 \in \partial\Omega$ 근처의 이웃 영역 $\mathcal{N} = B_{\theta R}(x_0) \cap \Omega$ 에서 국소적 제2차 도함수 추정이 균일하게 성립한다.
• $\sup_{\mathcal{N} \cap \Omega} |D^2 u_\epsilon| \leq C$ 형태의 추정은 $\epsilon$에 독립적이며, 이는 $\epsilon \to 0$으로의 극한 과정을 통해 $C^{1,1}$ 정규성을 회복할 수 있음을 보여준다.
• 해의 유일성은 $\varphi$가 $z$에 대해 엄격하게 증가할 경우의 경우 (i) 및 $A$가 $z$에 대해 엄격하게 증가할 경우의 경우 (ii)에서 비교 원리에 의해 도출된다.
• 도메인을 $D = \{ r \in \Gamma \mid F(r) > a_0 \}$로 재정의함으로써 $a_0 = -\infty$의 경우에도 동일한 구조적 가정 하에 존재성과 정규성이 유지된다.