[논문 리뷰] Oblique projections and Schur complements

Gustavo Corach, Alejandra Maestripieri외 1명|ArXiv.org|2000. 06. 16.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 20인용 수 57

한 줄 요약

이 논문은 자기수반 연산자 A에 의해 유도된 유계 이형성형 선형형식에 관하여 자기수반인 기울인 사영원을 조사하며, 닫힌 부분공간 S 위로의 A-자기수반 사영원의 존재성과 특성에 초점을 맞춘다. 주요 기여는 이러한 사영원과 S⊥에 대한 A의 쇼어 컴플리멘트(단순화된 연산자) 사이의 직접적인 연결 고리를 확립한 것이다. 즉, A-자기수반 사영원의 집합이 비어 있지 않은 것과 쇼어 컴플리멘트가 잘 정의되고 특정 연산자 부등식을 만족하는 것이 서로 동치임을 보이며, 최소 노름 해를 명시적으로 유도하였다.

ABSTRACT

Let H be a Hilbert space, L(H) the algebra of all bounded linear operators on H and _A : H imes H o C the bounded sesquilinear form induced by a selfadjoint A in L(H), < ξ, η>_A = < A ξ, η>, ξ, ηin H. Given T in L(H), T is A-selfadjoint if AT = T^*A. If S \subseteq H is a closed subspace, we study the set of A-selfadjoint projections onto S, P(A, S) = {Q in L(H): Q^2 = Q, R(Q) = S, AQ = Q*A} for different choices of A, mainly under the hypothesis that A\geq 0. There is a closed relationship between the A-selfadjoint projections onto S and the shorted operator (also called Schur complement) of A to S^\perp. Using this relation we find several conditions which are equivalent to the fact that P(A, S) eq \emptyset, in particular in the case of A\geq 0 with A injective or with R(A) closed. If A is itself a projection, we relate the set P(A, S) with the existence of a projection with fixed kernel and range and we determine its norm.

연구 동기 및 목표

• H 힐버트 공간에서 닫힌 부분공간 S 위로의 A-자기수반 사영원의 집합을 특성화하는 것.
• A가 유계 자기수반 연산자일 때, 특히 A ≥ 0일 경우 이러한 사영원의 존재 조건을 조사하는 것.
• A-자기수반 사영원과 A의 S⊥에 대한 쇼어 컴플리멘트(단순화된 연산자) 사이의 깊은 연결 고리를 확립하는 것.
• A-자기수반 사영원 집합 내에서 최소 노름 원소에 대한 명시적 공식을 유도하는 것.
• 집합이 비어 있지 않을 경우, 특히 A의 정규성과 닫힌 범위 조건이 만족될 때 이러한 사영원의 집합을 매개변수화하는 것.

제안 방법

• A-자기수반 사영원을 R(Q) = S 이며 AQ = Q*A 를 만족하는 등급원 Q로 정의한다.
• 사영원의 구조를 특성화하기 위해 연산자 방정식 QA = AD 의 감소해 D 를 사용한다.
• A-자기수반 사영원의 존재성과 S⊥에 대한 A의 단순화된 연산자 Σ(P,A) 의 존재성 간의 동치성을 확립한다.
• 모든 Q ∈ P(A,S) 에 대해 Σ(P,A) = A(1−Q) 라는 쇼어 컴플리멘트 항등식을 활용하여 사영원과 연산자 이론적 보완을 연결한다.
• A ≥ 0 이고 집합이 비어 있을 경우 P(A,S) 를 애핀 다양체로 매개변수화한다.
• 최소 노름 사영원 P_{A,S} 를 사용하고, 적절한 조건 하에 ‖P_{A,S}‖ = (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2} 공식을 통해 그 노름을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 자기수반 연산자 A ∈ L(H) 에 대해, 닫힌 부분공간 S 위로의 A-자기수반 사영원이 존재할 조건은 무엇인가?
• RQ2 S 위로의 A-자기수반 사영원 집합은 S⊥에 대한 A의 쇼어 컴플리멘트(단순화된 연산자)와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 집합이 비어 있지 않을 경우 P(A,S) 의 구조는 어떠한가? 그리고 이를 매개변수화할 수 있는가?
• RQ4 P(A,S) 내 최소 노름 원소는 무엇이며, 이를 명시적으로 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 최소 노름 A-자기수반 사영원의 노름이 유계일 조건은 무엇이며, 그 정확한 값은 어떤 연산자 노름으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 집합 P(A,S) 가 비어 있지 않다(즉, (A,S) 가 호환 가능하다)는 것과 단순화된 연산자 Σ(P,A) 가 존재하는 것은 동치이며, 이는 어떤 Q ∈ P(A,S) 에 대해 inf{λ > 0 : A(1−Q) ≤ λ(1−Q)A(1−Q)} 가 유한할 때 정확히 성립한다.
• A ≥ 0 일 경우, 집합 P(A,S) 는 애핀 다양체이며, ‖(1−Q)P‖ < 1 이면 최소 노름 원소 P_{A,S} 는 ‖P_{A,S}‖ = (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2} 를 만족한다.
• 최소 노름 사영원 P_{A,S} 는 유일하며, 방정식 QA = AD 의 특정 감소해 D 에 대해 P_{A,S} = (1 + D)^{-1} 을 만족한다.
• A 가 사영원일 경우, S 위로의 A-자기수반 사영원의 존재성은 고정된 근사와 범위를 가진 사영원의 존재성과 동치이며, 그 노름은 (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2} 으로 주어진다.
• 만약 ker Q ∩ R(P) = {0} 이고 R(P) ⊕ ker Q 가 닫혀 있다면, P_{Q,P} 는 근사 ker Q 와 범위 R(P) 를 가진 기울인 사영원이며, 그 노름은 (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2} 이다.
• 일반적인 P,Q ∈ P(H) 에 대해 최소 노름 사영원 P_{Q,P} 의 노름은 ‖P_{Q,P}‖ = (1 − ‖(1−Q)P₀‖²)^{-1/2} 으로 주어지며, 여기서 P₀ 는 R(P) ⊖ (ker Q ∩ R(P)) 에 대한 직교 사영원이다.