[논문 리뷰] Oblique propagation of electrons in crystals of germanium and silicon at sub-Kelvin temperature in low electric fields

Blas Cabrera, M. Pyle외 3명|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 08.

Silicon Nanostructures and Photoluminescence인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 저온 및 저전계에서 게르마늄과 실리콘 결정에서 전자가 단일 밸리에 갇혀 상호 밸리 산란이 억제되는 조건에서 기울어진 전자 이동을 설명하는 단순화된 비등방성 모델을 제시한다. 운동량 공간을 등방성으로 변환하고 전자 궤적을 시뮬레이션함으로써, 이론적 이동 속도를 실험 결과와 잘 일치시키며, CDMS와 같은 초저온 검출기에서 전자가 정공보다 열적 산란이 10배 더 큰 이유를 설명한다.

ABSTRACT

We show that oblique propagation of electrons in crystals of Ge and Si, where the electron velocity does not follow the electric field even on average, can be explained using standard anisotropic theory for indirect gap semiconductors. These effects are pronounced at temperatures below ~1K and for electric fields below ~5V/cm because inter-valley transitions are energetically suppressed forcing electrons to remain in the same band valley throughout their motion and the valleys to separate in position space. To model, we start with an isotropic approximation which incorporates the average properties of the crystals with one phonon mode, and include the ellipsoidal electron valleys by transforming into a momentum space where constant energy surfaces are spheres. We include comparisons of simulated versus measured drift velocities for holes and electrons, and explain the large discrepancy between electrons and holes for shared events in adjacent electrodes.

연구 동기 및 목표

• 저온 및 저전계에서 Ge와 Si 결정에서 관측된 전자 이동이 적용된 전기장 방향에서 크게 이탈하는 현상을 설명하기 위해.
• 특히 CDMS 실험에서 전자가 정공보다 10배 더 큰 산란을 보이는 장기적인 이4차원 차이를 해결하기 위해.
• 전체 밴드 몬테카를로 시뮬레이션을 요구하지 않지만 핵심 물리적 메커니즘을 유지하는 단순화된 정확한 모델을 개발하기 위해.
• Ge와 Si에서 측정된 전자 및 정공의 이동 속도와의 일치를 위해 각 재료에 대해 하나의 조정 가능한 매개변수(변형 포텐셜)를 사용하여 모델을 검증하기 위해.

제안 방법

• Ge의 L형 밸리 및 Si의 Δ형 밸리의 비등방성 운동량 공간을 허링의 변환을 통해 구형 등방성 운동량 공간으로 변환하여 등에너지 표면을 구형으로 만든다.
• T < 1 K에서만 자발적 복사만을 가정하고 등방성 縦방향 포논 방출과 에너지 및 운동량 보존을 적용하며, 전자 산란은 단일 변형 포텐셜 매개변수 Ξ로 모델링한다.
• 균일한 전기장 하에서 변환된 (별표가 붙은) 공간에서 전자 궤적을 시뮬레이션한 후 결과를 실제 공간으로 다시 매핑하여 비등방성 이동 패tern과 공간적 확산을 복원한다.
• 비교를 위해 동일한 등방성 정공 모델을 사용하며, Γ-밸리가 구형이고 등방성 포논 결합을 가정하여 전자 및 정공 이동 행동을 직접 비교할 수 있도록 한다.
• 효과 질량 비율에 기반한 스케일링 관계를 사용하여 별표가 붙은 공간에서 전기장, 속도, 위치 등의 변환된 양을 유도한다: $ E_i^* = ilde{m}_i^{-1/2} E_i $, $ v_i^* = ilde{m}_i^{1/2} v_i $, 여기서 $ ilde{m}_i = m_i / m_c $.
• Sundqvist(2009)의 측정된 이동 속도와의 비교를 통해 변형 포텐셜 $ ilde{oldsymbol{ ho}} $ 를 피팅하며, Ge에 대해 $ ilde{oldsymbol{ ho}} = 11.0 $ eV, Si에 대해 3.4 eV로 일치시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 저온 및 저전계에서 Ge와 Si 결정에서 전자는 기울어진 이동을 보이지만 정공은 그렇지 않은가?
• RQ2 CDMS 유형 초저온 검출기에서 전자가 정공보다 10배 더 큰 횡방향 산란을 보이는 이유는 무엇인가?
• RQ3 간단한 프레임워크를 사용하여 간섭금속 반도체에서의 비등방성 전자 이동을 정확하게 모델링할 수 있는가?
• RQ4 낮은 온도 및 낮은 전계에서 상호 밸리 산란이 억제될 경우, 밸리별 전자 궤적과 비등방성 확산이 어떻게 발생하는가?
• RQ5 비등방성 운동량 공간으로의 변환이 Ge와 Si의 L- 및 Δ-밸리에서의 비등방성 이동 행동을 정확히 재현할 수 있는가?

주요 결과

• 모델은 저전계(약 5 V/cm 이하)에서 Ge와 Si의 전자 이동 속도를 측정값과 잘 일치시키며, Ge에 대해 11.0 eV, Si에 대해 3.4 eV의 최적 피팅 변형 포텐셜을 확보한다.
• Ge 결정에서 전자 궤적은 [111] 결정 축을 따라 정렬된 네 개의 고유한 타원형 확산 빔을 보이며, 횡방향 대 평행 방향 확산 비율은 약 $ ilde{m}_{\text{parallel}} / \tilde{m}_{\text{perp}} = 4.41 $로 이론적 비등방성 비율과 일치한다.
• CDMS 검출기에서 전자의 횡방향 산란은 정공보다 10배 더 크며, 이는 비등방성 효과 질량 텐서와 밸리 분리에 의해 설명되며 실험 관측과 일치한다.
• [100] Si 결정에서는 기울어진 전파가 없는데, 이는 여섯 개의 Δ-밸리 모두가 전기장 방향과 한 축을 공유하기 때문이다. 그러나 [111] Si에서는 축의 정렬이 어긋나기 때문에 기울어진 전파가 나타난다.
• [111] Ge 결정에서는 전기장 방향과 일치하는 L-밸리가 하나뿐이므로 기울어진 전파가 유지된다.
• 특성 산란 거리 $ l_0 $ 는 Ge에서 257 μm, Si에서 108 μm이며, 시뮬레이션된 전자 빔 너비 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}} $ 는 1 V/cm에서 실험적 산란과 일치하여 모델의 예측 능력을 확인한다.