[논문 리뷰] Observability and null-controllability for parabolic equations in $L_p$-spaces

Clemens Bombach, Dennis Gallaun외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 29.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 두꺼운 집합에서 내부 제어를 가진 $L^p(\mathbb{R}^d)$에서 포물선 방정식에 대해, 추상적 불확실성 원리와 소산 추정을 조합한 이중성 기반 접근법을 사용하여 비용 균일 근사 영제어 가능성을 확립하고, 제어 비용 상한을 명시적으로 도출한다. 주요 기여는 힐버트 공간과 비반사적 $L^1$-공간 이외의 일반화된 $p=1$ 및 $p\in(1,\infty)$의 경우로의 확장이며, 제어 집합의 기하적 성질과 최종 시간 $T$에 따라 명시적인 제어 비용 상한을 제공한다.

ABSTRACT

We study (approximate) null-controllability of parabolic equations in $L_p(\mathbb{R}^d)$ and provide explicit bounds on the control cost. In particular we consider systems of the form $\dot{x}(t) = -A_p x(t) + \mathbf{1}_E u(t)$, $x(0) = x_0\in L_p (\mathbb{R}^d)$, with interior control on a so-called thick set $E \subset \mathbb{R}^d$, where $p\in [1,\infty)$, and where $A$ is an elliptic operator of order $m \in \mathbb{N}$ in $L_p(\mathbb{R}^d)$. We prove null-controllability of this system via duality and a sufficient condition for observability. This condition is given by an uncertainty principle and a dissipation estimate. Our result unifies and generalizes earlier results obtained in the context of Hilbert and Banach spaces. In particular, our result applies to the case $p=1$.

연구 동기 및 목표

• 두꺼운 집합에서 내부 제어를 가진 $L^p(\mathbb{R}^d)$에서 포물선 방정식에 대해, 힐버트 공간의 경우를 초월하여 비용 균일 근사 영제어 가능성을 확립하는 것.
• 초기 자료에 대해 균일하며, 제어 집합 $E$의 기하적 성질과 최종 시간 $T$에 명시적으로 의존하는 제어 비용 상한을 명시적으로 제공하는 것.
• 이전의 힐버트 공간 결과를 비반사적 $L^1$-공간 설정으로 일반화하여, 단위 구내의 모든 초기 자료에 대해 제어 비용이 균일하게 유계임을 보이는 것.
• 이중성 기반 프레임워크를 개발하여, 영제어 가능성을 이중 시스템의 최종 상태 관측 가능성과 연결하고, 추상적 불확실성 원리와 소산 추정을 활용하는 것.
• 보간 기법에 의존하지 않고, 일반 $L^p$-공간, 특히 $p=1$ 및 $p=\infty$로까지 불확실성 원리와 소산 추정 전략의 적용 범위를 확장하는 것.

제안 방법

• 증명은 이중성에 기반하며, Douglas의 보조정리에 의해 원래 시스템의 영제어 가능성이 이중 시스템의 관측 가능성으로 환원된다.
• 최종 상태 관측 가능성에 대한 충분조건은 추상적 불확실성 원리(스펙트럼 부등식)와 소산 추정을 통해 도출되며, 정리 A.1에 형식화되어 있다.
• 불확실성 원리는 Logvinenko–Sereda 정리에 의해 확립되며, 이는 두꺼운 집합에서 함수의 $L^p$-노름에 대한 정량적 경계를 제공한다.
• 소산 추정은 반군 $e^{-tA_p}$의 커널에 대한 명시적 점별 경계를 통해 확보되며, 이는 제어 집합의 여집합에서 반군의 감쇠를 제어할 수 있도록 한다.
• 제어 비용 상한은 정리 A.1의 부등식을 반복 적용하여 도출되며, 이는 불확실성 원리와 소산 추정을 최종 상태 관측 가능성 추정으로 통합한다.
• 이 프레임워크는 강연속성이 보장되지 않는 반군으로 일반화되어, 이전에 강연속성 가정으로 인해 제외되었던 $L^1$ 및 $L^\infty$-공간의 처리를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비반사적 이중 공간을 갖는 $L^1$-공간에서, 표준 힐버트 공간 기법이 실패하는 상황에서, $p=1$인 $L^p(\mathbb{R}^d)$에서 포물선 방정식의 영제어 가능성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 제어 집합 $E$의 두께와 최종 시간 $T$에 따라, 제어 비용에 대한 명시적이고 기하학적으로 정량화된 상한을 유도할 수 있는가?
• RQ3 보간 기법에 의존하지 않고, $L^2$를 초월하여 일반 $L^p$-공간, 특히 $p=1$ 및 $p=\infty$로까지 불확실성 원리와 소산 추정 전략을 확장할 수 있는가?
• RQ4 하향항이 있는 비자기적, 비컴 pact한 타원형 연산자에 대해, 비자기적, 비컴 pact한 타원형 연산자에 대해 $L^p$-공간에서 최종 상태 관측 가능성 추정을 유도할 수 있는가?
• RQ5 측정 가능 반군과 추상적 연산자 부등식만을 사용하여, 비반사적 $L^1$-공간에서 영제어 가능성과 관측 가능성 사이의 이중성 관계를 엄밀하게 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 제어 집합 $E\subset\mathbb{R}^d$가 두꺼운 집합(모든 큐브에서의 밀도에 대해 양의 하한이 존재하는 것으로 정의됨)일 경우, $p=1$에 대해 비용 균일 근사 영제어 가능성이 $L^p(\mathbb{R}^d)$에서 성립하고, $p\in(1,\infty)$에 대해 영제어 가능성이 성립한다.
• 명시적인 제어 비용 상한이 도출되었으며, 상한은 $\exp\left(\frac{C_2}{T^{\gamma}}\right)$의 형태로 스케일링되며, $\gamma>0$이고 $C_2$는 $E$의 두께와 타원형 연산자의 차수 $m$에 의존한다.
• 모든 초기 자료 $\|x_0\|_{L^p(\mathbb{R}^d)} \leq 1$에 대해 제어 비용 상한이 균일하므로, 이중 공간이 분리 가능하지 않은 $L^1$-설정에서의 강건성 보장된다.
• 불확실성 원리는 Logvinenko–Sereda 정리에 의해 확립되며, 이는 두꺼운 집합 $E$ 조건 하에서 주어진 집합에 주파수 지지가 있는 함수 $f$에 대해 $\|f\|_{L^p(E)} \gtrsim \|f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}$임을 보장한다.
• 소산 추정은 반군 $e^{-tA_p}$의 커널을 경계함으로써 증명되며, 이는 해의 질량이 $E$의 여집합에서 시간이 지남에 따라 지수적으로 감쇠됨을 보여주며, 이는 매개변수 $\gamma_3$로 정량화된다.
• 강연속성 가정이 제거되어 $L^2$-공간에서의 이전 결과를 일반화하여, 이중 공간이 비반사적인 $L^1$ 및 $L^\infty$-공간의 처리를 가능하게 한다.