[논문 리뷰] Observability inequalities from measurable sets for some evolution equations

Gengsheng Wang, Can Zhang|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 13.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서의 추상적 진화방정식에 대해 측정 가능한 시간 집합에서의 관측 가능성 부등식을 설정하며, 두 가지 다른 설정을 사용한다: 적합한 관측 연산자를 갖는 해석적 세미군과 스펙트럼 유사 조건을 갖는 $C_0$ 세미군. 주요 기여는 측정 가능한 집합에서의 관측 가능성과 파라볼릭 방정식 및 관련 시스템에서 시간 최적 제어 문제의 반짝임-반짝임 성질 사이의 관련성을 입증하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we build up two observability inequalities from measurable sets in time for some evolution equations in Hilbert spaces from two different settings. The equation reads: $u'=Au,\; t>0$, and the observation operator is denoted by $B$. In the first setting, we assume that $A$ generates an analytic semigroup, $B$ is an admissible observation operator for this semigroup (cf. \cite{TG}), and the pair $(A,B)$ verifies some observability inequality from time intervals. With the help of the propagation estimate of analytic functions (cf. \cite{V}) and a telescoping series method provided in the current paper, we establish an observability inequality from measurable sets in time. In the second setting, we suppose that $A$ generates a $C_0$ semigroup, $B$ is a linear and bounded operator, and the pair $(A, B)$ verifies some spectral-like condition. With the aid of methods developed in \cite{AEWZ} and \cite{PW2} respectively, we first obtain an interpolation inequality at one time, and then derive an observability inequality from measurable sets in time. These two observability inequalities are applied to get the bang-bang property for some time optimal control problems.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 공간에서의 추상적 진화방정식에 대해 시간의 측정 가능한 부분집합에서의 관측 가능성 부등식을 수립하는 것.
• 이전에 특정한 PDE(예: 열 방정식)에 국한되어 있던 기존의 관측 가능성 결과를 세미군에 의해 지배되는 일반적인 진화방정식으로 확장하는 것.
• 이러한 부등식을 적용하여 파라볼릭 유형 시스템에서의 시간 최적 제어 문제에 대한 반짝임-반짝임 성질을 입증하는 것.
• 해석적 세미군과 $C_0$ 세미군 설정에 모두 적용 가능한 새로운 기법을 도입하여 이전의 관측 가능성과 제어 결과를 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 첫 번째 설정에서 해석 함수의 전파 추정을 사용하여 해의 성장률을 제어한다. 이 설정은 해석적 세미군을 포함한다.
• 지역 관측 가능성 추정을 측정 가능한 집합 전체로 확장하기 위해 새로운 텔레스코프 급수 방법을 적용한다.
• 두 번째 설정에서는 스펙트럼 유사 조건에서 유도된 보간 부등식을 사용하며, 지수 감쇠 성질을 갖는 부분공간에 의존한다.
• 가설 (H) 하에서 스펙트럼 프로젝션과 감쇠 속도를 포함하는 조건을 바탕으로 [2]와 [29]의 방법을 활용하여 점별 관측 가능성 추정을 유도한다.
• 시간 $T$ 에서의 해의 노름에 대한 경계를 측정 가능한 집합 $E \subset (0,T)$ 에서의 관측 데이터의 $L^1$-유형 적분을 사용하여 설정한다.
• 대칭성 원리와 수반 세미군 분석을 통해 관측 가능성 결과를 제어 문제, 특히 시간 최적 제어 설정으로 전이한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추상적 진화방정식에 대해 시간의 구간이 아닌 측정 가능한 부분집합에서 관측 가능성 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 생성자 $A$ 와 관측 연산자 $B$ 에 어떤 조건이 성립하면 측정 가능한 부분집합에서의 관측 가능성이 보장되는가?
• RQ3 측정 가능한 집합에서의 관측 가능성 부등식은 시간 최적 제어의 구조적 성질을 유추하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ4 해석적 세미군과 스펙트럼 조건은 어떤 양의 측정 가능한 집합에서의 관측 가능성을 가능하게 하는가?
• RQ5 유도된 부등식은 시간 최적 제어 문제에서 반짝임-반짝임 성질을 어느 정도 보장하는가?

주요 결과

• 논문은 해석적 세미군과 적합한 관측 연산자를 갖는 경우, 국소 관측 가능성 부등식을 만족할 때, 임의의 양의 측정 가능한 부분집합 $E \subset (0,T)$ 에서도 관측 가능성이 성립함을 입증한다.
• 관측 가능성 부등식 (1.4)에 등장하는 명시적 상수 $C$ 는 $E$, $T$, $d$, $k$, 그리고 $\|B\|_{\mathcal{L}(D(A),U)}$ 에 따라 달라지며, 이는 측정 가능한 관측 집합에서의 안정성을 보장한다.
• $C_0$ 세미군이 가설 (H) 를 만족할 경우, 점별 보간 부등식 (1.5) 가 도출되며, 이는 시간 $t \in (0,1]$ 에서의 해의 노름을 관측 노름과 초기 데이터에 연결한다.
• 주요 부등식 (1.6) 는 $\|S(T)u_0\|_X$ 가 임의의 양의 측정 가능한 집합 $E \subset (0,T)$ 에서의 $\|BS(t)u_0\|_U$ 의 $L^1$-유형 적분에 의해 유계임을 보여준다.
• 이 결과는 그루신 연산자 시스템과 점프하는 계수를 갖는 파라볼릭 방정식에서 시간 최적 제어 문제의 반짝임-반짝임 성질을 입증하는 데 응용된다.
• 보조정리 3.6과 3.7 은 각각 그루신 유형 방정식과 불연속 계수를 갖는 파라볼릭 방정식의 시간 최적 제어에서 반짝임-반짝임 성질이 성립함을 확인한다.