[논문 리뷰] Observability of Baouendi-Grushin-Type Equations Through Resolvent Estimates

Cyril Letrouit, Chenmin Sun|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 12.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 28인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $\gamma \geq 1$ 인 Baouendi-Grushin 연산자 $\Delta_\gamma = \partial_x^2 + |x|^{2\gamma}\partial_y^2$에 대한 날카운 수렴 추정을 수립하며, 슈뢰딩거형 방정식 $i\partial_t u - (-\Delta_\gamma)^s u = 0$의 관측 가능성은 비율 $(\gamma+1)/s$ 에 따라 결정됨을 증명한다: $(\gamma+1)/s < 1$ 이면 임의의 짧은 시간 동안 관측 가능하며, $(\gamma+1)/s > 1$ 이면 오직 긴 시간 동안만 관측 가능하고, $(\gamma+1)/s = 1$ 이면 모든 시간에 대해 실패한다. 핵심 기여는 $h^{-(\gamma+1)}$ 의 비율을 가지는 다항 수렴 추정으로, 이는 최적이며 기하학적 열화된 방향에서의 전파를 정밀하게 제어할 수 있게 한다.

ABSTRACT

In this article, we study the observability (or, equivalently, the controllability) of some subelliptic evolution equations depending on their step. This sheds light on the speed of propagation of these equations, notably in the "degenerated directions" of the subelliptic structure. First, for any $\\gamma\\geq 1$, we establish a resolvent estimate for the Baouendi-Grushin-type operator $\\Delta_\\gamma=\\partial_x^2+|x|^{2\\gamma}\\partial_y^2$, which has step $\\gamma+1$. We then derive consequences for the observability of the Schr\\''odinger type equation $i\\partial_tu-(-\\Delta_\\gamma)^{s}u=0$ where $s\\in N$. We identify three different cases: depending on the value of the ratio $(\\gamma+1)/s$, observability may hold in arbitrarily small time, or only for sufficiently large times, or even fail for any time. As a corollary of our resolvent estimate, we also obtain observability for heat-type equations $\\partial_tu+(-\\Delta_\\gamma)^su=0$ and establish a decay rate for the damped wave equation associated with $\\Delta_{\\gamma}$.

연구 동기 및 목표

• Baouendi-Grushin 연산자 $\Delta_\gamma$ 를 기반으로 하는 초타원형 진화 방정식의 관측 가능성 성질을 분석하는 것.
• 기하학적 열화된(수직 $y$) 방향에서의 전파 속도가 단계 $\gamma+1$ 과 $(-\Delta_\gamma)^s$ 에서의 거듭제곱 $s$ 에 어떻게 의존하는지 이해하는 것.
• 관측 집합에서의 비모드 집중 정도를 정량화하는 $\Delta_\gamma$ 에 대한 날카운 수렴 추정을 수립하는 것.
• 수렴 추정 기반의 쌍대성에 의해 슈뢰딩거형 및 열 방정식의 시간 의존 관측 가능성 성질를 규명하는 것.
• 이러한 결과를 감쇠된 파동 방정식으로 확장하여 해의 에너지 감쇠률을 유도하는 것.

제안 방법

• $\gamma \geq 1$ 에 대해 $\|v\|_{L^2} \leq C\left(\|v\|_{L^2(\omega)} + h^{-(\gamma+1)}\| (h^2\Delta_\gamma + 1)v \|_{L^2} \right)$ 의 형태를 가지는 수렴 추정을 미세국소 및 스펙트럼 기법을 사용해 유도한다.
• 수렴 추정을 슈뢰딩거 방정식 $i\partial_t u - (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ 에 적용하기 위해 쌍대성과 힐버트 유일성 방법을 적용한다.
• 수렴 추정을 통해 관측 가능성은 비율 $r = (\gamma+1)/s$ 에 따라 달라짐을 증명한다: $r < 1$ 이면 임의의 짧은 시간 동안 관측 가능하고, $r > 1$ 이면 오직 긴 시간 동안만 관측 가능하며, $r = 1$ 이면 모든 시간에 대해 실패한다.
• 동일한 수렴 추정 프레임워크를 이용해 열형 방정식 $\partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ 에 대한 관측 가능성을 확립한다.
• 수렴 추정을 감쇠된 파동 방정식 $\partial_t^2 u + \partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ 에 적용하여 에너지의 다항 감쇠률을 도출한다.
• Lax-Milgram 정리와 컴actness 추론을 사용하여 수렴 추정을 증명하며, 이는 $\Delta_\gamma$ 의 유일 연속성 성질에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슈뢰딩거형 방정식의 관측 가능성은 $(-\Delta_\gamma)^s$ 에 의해 구동될 때 비율 $r = (\gamma+1)/s$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ2 Baouendi-Grushin 연산자 $\Delta_\gamma$ 에 대해 $\gamma \geq 1$ 인 경우 날카운 수렴 추정을 수립할 수 있으며, 그 최적 비율은 무엇인가?
• RQ3 $r = 1$ 일 때 관측 가능성은 모든 시간에 대해 실패하는가? 만약 그렇다면 그 이유는 무엇인가?
• RQ4 감쇠된 파동 방정식의 에너지에 대해 유도할 수 있는 감쇠률은 무엇인가?
• RQ5 관측 집합 $\omega$ 가 수평 스트립을 포함하지만 직선 $\{x=0\}$ 은 포함하지 않는 기하학적 특성은 관측 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 날카운 수렴 추정이 수립됨: $\|v\|_{L^2} \leq C\left(\|v\|_{L^2(\omega)} + h^{-(\gamma+1)}\| (h^2\Delta_\gamma + 1)v \|_{L^2} \right)$ for $\gamma \geq 1$, 이는 최적이며 비모드의 일련의 수렴에 의해 상한이 도달됨.
• 슈뢰딩거 방정식 $i\partial_t u - (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ 에서, $r = (\gamma+1)/s < 1$ 이면 임의의 짧은 시간 동안 관측 가능하고, $r > 1$ 이면 오직 긴 시간 동안만 관측 가능하며, $r = 1$ 이면 모든 시간에 대해 실패한다.
• 수렴 추정은 열형 방정식 $\partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ 에 대한 관측 가능성을 암시하며, 동일한 프레임워크에서 유도된 감쇠율을 가진다.
• 감쇠된 파동 방정식 $\partial_t^2 u + \partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ 는 다항 에너지 감쇠를 보이며, 이 감쇠율은 $\gamma$ 와 $s$ 에 따라 달라진다.
• 수렴 추정이 최적임을 입증: 비모드의 일련이 상한을 도달하며, 더 나은 추정이 존재할 경우 $r = 1$ 일 때 짧은 시간 동안의 비관측 가능성과 모순된다.
• $\Delta_\gamma$ 의 유일 연속성 성질을 사용하여 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$ 에 대해 $i\lambda - \mathcal{A}$ 가 단사임을 증명하며, 이는 스펙트럼 포함성 $i\mathbb{R} \subset \rho(\mathcal{A})$ 를 보장한다.