[논문 리뷰] Observations and Problems on k-abelian avoidability

Mari Huova, Juhani Karhumäki|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 21.

semigroups and automata theory참고 문헌 4인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 아벨 및 전통적인 단어 반복 문제의 보완으로서 k-아벨 회피 문제를 조사하며, 특히 2-아벨 제곱과 3-아벨 승제에 초점을 맞춘다. 계산적 추적과 구조 분석을 통해 3-알파벳 2-아벨 제곱을 피하는 무한어는 존재하지 않음을 입증한다 (최대 길이 537), 반면 이론적 근거는 이진 2-아벨 승제를 피하는 무한어의 존재를 강하게 시사한다.

ABSTRACT

We introduce new avoidability problems for words by considering equivalence relations, k-abelian equivalences, which lie properly in between equality and commutative equality, i.e. abelian equality. For two k-abelian equivalent words the numbers of occurrences of different factors of length k coincide and the prefixies (resp. suffixies) of length k-1 are equal as well. The size of the smallest alphabet avoiding 2-repetitions of words, i.e. squares, is three and for abelian squares it is four. It follows that for 2-abelian squares this size has to be three or four. Similarly, the size of the smallest alphabet where 2-abelian cubes, i.e. 3-repetitions, can be avoided is two or three, because cubes (resp. abelian cubes) are avoidable in binary (resp. ternary) alphabet. We show that for 2-abelian squares the required size is four, as in the case of abelian squares. The longest 2-abelian square-free ternary word is of length 537. The question for 2-abelian cubes is open. Though, we have computational evidence that the size would be two, since there exists 2-abelian cube-free binary word of length 100 000, meaning that the 2-abelian case would behave like that of words.

연구 동기 및 목표

• k-아벨 반복의 회피 문제를 연구함. 이는 아벨 및 전통적인 반복 문제의 일반화이자 무한어에서의 응용을 목표로 함.
• 2-아벨 제곱과 승제를 피하는 무한어를 구성하기 위해 필요한 최소 알파벳 크기를 규명함.
• 기존의 고전적 투에 문제에서 성공한 매핑 기반 구성법이 k-아벨 설정으로 확장 가능한지 조사함.
• 계산적 추적과 트리 기반 탐색을 통해 2-아벨 제곱을 피하는 어휘와 2-아벨 승제를 피하는 어휘의 성장 및 구조를 분석함.

제안 방법

• k-아벨 동치를 정의함: 길이 k−1의 접두사/접미사가 일치하고, 모든 길이 k의 부분문자열의 개수가 동일함.
• 계산적 추적을 통해 3-알파벳 기반에서 가장 긴 2-아벨 제곱을 피하는 어휘를 탐색함.
• 길이 537까지의 모든 2-아벨 제곱을 피하는 어휘의 전체 트리를 구성하여 분포 및 성장 양상을 분석함.
• 유사한 계산 기법을 사용해 길이 120까지의 이진 2-아벨 승제를 피하는 어휘의 수를 세고 분석함.
• 이진 2-아벨 승제를 피하는 어휘의 장기 접두사들을 고정하고, 유효한 연장 수를 추적하여 성장률을 평가함.
• 경험적 성장 패턴(길이 증가당 약 1.3배)을 기반으로, 2-아벨 승제를 피하는 무한어의 존재 가능성을 추론함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3-알파벳 기반에서 2-아벨 제곱을 피하는 어휘의 최대 길이는 얼마인가?
• RQ2 이진 알파벳 기반에서 2-아벨 승제를 피하는 무한어가 존재하는가?
• RQ3 고전적 투에 문제에서 성공한 매핑 기반 구성법이 2-아벨 승제를 피하는 어휘를 생성하는 데 적용 가능한가?
• RQ4 각각의 알파벳 기반에서 2-아벨 제곱을 피하는 어휘와 2-아벨 승제를 피하는 어휘의 수는 길이가 증가함에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ5 성장 및 분포 측면에서 2-아벨 제곱을 피하는 어휘 집합과 2-아벨 승제를 피하는 어휘 집합을 구분하는 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 3-알파벳 기반에서 2-아벨 제곱을 피하는 가장 긴 어휘의 길이는 537이며, 이 어휘는 알파벳 순열을 제외하고는 유일함.
• 길이 105인 2-아벨 제곱을 피하는 어휘의 수는 404,286에 달하며, 길이 1에서 537 사이에서 최댓값임.
• 105를 초과하는 길이에서는 2-아벨 제곱을 피하는 어휘의 수가 진동하는 양상을 보이며, 이는 구조적 제약이 있음을 시사함.
• 이진 알파벳 기반에서는 100,000자 이상의 2-아벨 승제를 피하는 어휘를 구성할 수 있으며, 이는 무한한 어휘의 존재 가능성을 시사함.
• 길이 60인 이진 2-아벨 승제를 피하는 어휘의 수는 478,456,030이며, 길이 증가당 약 1.3배로 증가함.
• 길이 2000의 고정된 접두사를 가진 경우, 유효한 2-아벨 승제를 피하는 연장 수는 길이 단위 증가당 약 1.3배로 증가하며, 이는 무한한 회피 가능성에 대한 추측을 지지함.