[논문 리뷰] Obstructions to deforming curves on a 3-fold, I: A generalization of Mumford's example and an application to Hom schemes

Shigeru Mukai, Hirokazu Nasu|arXiv (Cornell University)|2006. 09. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 3차원 다양체 위의 곡선의 1차 무한소 변형이 차단되는 충분조건을 제시한다. 이 조건은 중간 표면에 대한 정규(bundle)의 외부 성분을 이용한다. 이를 응용하여 유일한 3차원 다양체의 Hilbert 스킴에서 일반적으로 비환원성 성분을 구성하고, 일반적인 종수 5 곡선에서 일반적인 입체 3차 곡면으로의 Hom 스킴에서 일반적으로 비환원성 기약 성분의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

We give a sufficient condition for a first order infinitesimal deformation of a curve on a 3-fold to be obstructed. As application we construct generically non-reduced components of the Hilbert schemes of uniruled 3-folds and the Hom scheme from a general curve of genus five to a general cubic 3-fold.

연구 동기 및 목표

• 3차원 다양체 위의 곡선의 1차 무한소 변형이 차단되는 충분조건을 제공하는 것.
• Mumford의 비환원성 Hilbert 스킴 예제를 더 넓은 범위의 유일한 3차원 다양체로 일반화하는 것.
• 장애 기준을 적용하여 종수 5 곡선에서 입체 3차 곡면으로의 차수 8 사상의 Hom 스킴에서 일반적으로 비환원성 성분을 구성하는 것.
• 일반적인 모듈리 조건 하에서 비환원성 성분을 제시함으로써 Hom 스킴의 미분 가능성 문제를 해결하는 것.
• 반연속성과 Unprojection 기법을 사용하여 일반 및 Fermat 유형의 입체 3차 곡면에 대해 분석을 확장하는 것.

제안 방법

• 정규(bundle) $ N_{S/V} $의 유리 함수 $ v $ 를 도입하며, 이는 $(-1)$-곡선 $ E $ 에서 단순 극을 가진다. 이로 인해 $ H^0(N_{S/V}(E)) \setminus H^0(N_{S/V}) $ 에서의 성분이 유도된다.
• 곡선 $ C \subset V $ 의 변형 $ \tilde{C} $ 에 대해 외부 성분 $ \pi_S(\alpha) \in H^0(N_{S/V}|_C) $ 를 정의하고, 이를 장애 탐지에 사용한다.
• 정확한 수열 $ 0 \to N_{E/S} \to N_{E/V} \to N_{S/V}|_E \to 0 $ 에 $ \mathcal{O}_S(E) $ 를 곱한 후 코 boundary 사상 $ \partial $ 를 사용하여 장애 조건을 분석한다.
• 만약 $ (E^2) < 0 $ 이고, 정리 1.6의 조건 (a)와 (b)가 만족되면, $ \operatorname{ob}(\alpha) \neq 0 $ 임을 증명하여 장애가 존재함을 보인다.
• 이 기준을 적용하여 $ p_g(S) = h^1(N_{S/V}) = 0 $ 이고 $ N_{E/V} $ 가 전반적으로 생성된 유일한 3차원 다양체 $ V $ 에 대해 $ \operatorname{Hilb}^{sc}V $ 에 무한히 많은 일반적으로 비환원성 기약 성분 $ W_n $ 이 존재함을 보인다.
• Unprojection 과 종수 5 곡선의 표준 모델을 사용하여 Hilbert 스킴과 Hom 스킴를 연결하고, 일반적인 $[X] \in \mathfrak{M}_5$ 에서의 섬세한 영역이 일반적으로 비환원성임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 다양체 위의 곡선의 1차 변형이 어떤 조건에서 차단되는가?
• RQ2 Mumford의 비환원성 Hilbert 스킴 예제는 다른 유일한 3차원 다양체로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 일반적인 종수 5 곡선 $ X $ 와 일반적인 입체 3차 곡면 $ V_3 $ 에 대해 Hom 스킴 $ \operatorname{Hom}_8(X, V_3) $ 에서 일반적으로 비환원성 성분이 존재하는가?
• RQ4 입체 3차 곡면의 초평면 절단에서 모듈리 공간 $ \mathfrak{M}_5 $ 로의 분류 사상은 전반적인가?
• RQ5 반연속성을 통해 Fermat 케이스에서의 비환원성 결과를 모든 매끄러운 입체 3차 곡면으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 곡선 $ C \subset V $ 의 1차 무한소 변형 $ \tilde{C} $ 가 장애를 받는 충분조건은 $ C, E \subset S \subset V $, $ E $ 가 $(-1)$-곡선이며, $ v \in H^0(N_{S/V}(E)) \setminus H^0(N_{S/V}) $ 에 대해 특정 코homological 조건이 만족될 때 외부 성분 $ \pi_S(\alpha) $ 를 통해 기술된다.
• 모든 유일한 3차원 다양체 $ V $ 에 대해, 매끄러운 표면 $ S \subset V $, $(-1)$-곡선 $ E \subset S $, $ N_{E/V} $ 가 전반적으로 생성되고 $ p_g(S) = h^1(N_{S/V}) = 0 $ 를 만족하는 경우, Hilbert 스킴 $ \operatorname{Hilb}^{sc}V $ 는 무한히 많은 일반적으로 비환원성 기약 성분 $ W_n $ 을 포함한다.
• 일반적인 종수 5 곡선 $ X $ 와 일반적인 입체 3차 곡면 $ V_3 \subset \mathbb{P}^4 $ 에 대해 Hom 스킴 $ \operatorname{Hom}_8(X, V_3) $ 는 기대 차원 4를 가지며 일반적으로 비환원성인 기약 성분을 가진다.
• Fermat 케이스 $ V_3^{\rm Fermat} $ 에서 분류 사상 $ \varphi^{\rm Fermat}: \tilde{W}^{\rm Fermat} \to \mathfrak{M}_5 $ 는 전반적이며, 섬세한 영역 $ T^{\rm Fermat} $ 는 차원 4의 일반적으로 비환원성이다.
• 섬세한 영역의 차원에 대한 상한 반연속성에 의해, 일반적인 $ V_3 $ 에서의 비환원성 결과는 Fermat 케이스로부터 유도된다.
• Hom 스킴 내 비환원성 성분의 존재는 문제 1.4에 대한 부정적 해결을 제공한다: 일반적인 $ X $ 와 $ V' $ 에 대해 $ \operatorname{Hom}(X, V') $ 의 모든 성분이 일반적으로 미분 가능하다고 보장되지 않는다.