[논문 리뷰] Obtaining intermediate rings of a local profinite Galois extension without localization

Daniel G. Davis|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 16.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $K(n)$-국소 스펙트럼의 중간 스펙트럼, 예를 들어 $E_n^{hH}$, $L_{K(n)}(S^0)$, $L_{K(n)}(X)$와 같은 것들이 $K(n)$-국소화를 거치지 않고도 단일한 이산 $G_n$-스펙트럼 $F_n$의 호모토피 고정점으로 직접 구할 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 임의의 열린 부분군 $U \leq G_n$에 대해 $E_n^{hU} \simeq (F_n)^{hU}$임을 보여주며, 고정점 이후에 국소화를 거치지 않아도 된다는 점이다.

ABSTRACT

Let E_n be the Lubin-Tate spectrum and let G_n be the nth extended Morava stabilizer group. Then there is a discrete G_n-spectrum F_n, with L_{K(n)}(F_n) \simeq E_n, that has the property that (F_n)^{hU} \simeq E_n^{hU}, for every open subgroup U of G_n. In particular, (F_n)^{hG_n} \simeq L_{K(n)}(S^0). More generally, for any closed subgroup H of G_n, there is a discrete H-spectrum Z_{n, H}, such that (Z_{n, H})^{hH} \simeq E_n^{hH}. These conclusions are obtained from results about consistent k-local profinite G-Galois extensions E of finite vcd, where L_k(-) is L_M(L_T(-)), with M a finite spectrum and T smashing. For example, we show that L_k(E^{hH}) \simeq E^{hH}, for every open subgroup H of G.

연구 동기 및 목표

• 호모토피 고정점을 취한 후에 $K(n)$-국소화를 거치지 않고도 $E_n^{hH}$와 같은 $K(n)$-국소 스펙트럼을 얻을 수 있음을 보이기.
• 모든 $K(n)$-국소 호모토피 고정점을 구성할 때 이산 $G_n$-스펙트럼의 타워가 필요로 하지 않음을 제거하기.
• 단일 이산 $G_n$-스펙트럼 $F_n$가 충분하여 $L_{K(n)}(S^0)$와 $L_{K(n)}(X)$를 호모토피 고정점으로 복원할 수 있음을 확립하기.
• 유한한 가상 코homological 차원(vcd)을 가진 일관된 $k$-국소 프로파일 프로파일 Galois 확장으로 이 결과를 일반화하기.

제안 방법

• 열린 정규부분군 $N \triangleleft_o G_n$에 대해 $E_n^{dhN}$의 프로젝션을 취한 후 그 쌍대극한으로서 $F_n$을 구성하여 이산 $G_n$-스펙트럼을 얻는다.
• 호모토피 고정점의 등가성 $E_n^{hH} \simeq \operatorname{holim}_i (F_n \wedge M_i)^{hH}$을 사용하며, 여기서 $\{M_i\}$는 일반화된 무어 스펙트럼의 타워이다.
• 일관된 $k$-국소 프로파일 프로파일 $G$-Galois 확장에 대해 $L_k(E^{hH}) \simeq \left(\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)\right)^{hH}$임을 보인다.
• 프로파일 프로파일 확장의 경우, $L_k(E^{hH}) \simeq \left(\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)\right)^{hH}$임을 증명하며, 여기서 쌍대극한은 $H$의 구조에 영향을 받지 않는다.
• $\Sigma\mathrm{Sp}_H$에서 $\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V) \xrightarrow{\simeq} \operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fH})^V)$의 약한 등가성을 확립하여 직접 계산이 가능하게 한다.
• 프로젝션 함자와 $K(n)$-국소화 함자를 활용하여 $E_n^{hH}$를 $F_n$의 고정점과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호모토피 고정점을 취할 때 $K(n)$-국소화를 거치지 않고도 $E_n^{hH}$를 단일 이산 $G_n$-스펙트럼의 고정점으로 얻을 수 있는가?
• RQ2 모든 $K(n)$-국소 호모토피 고정점을 구성할 때 스펙트럼의 타워가 반드시 필요한가?
• RQ3 $L_{K(n)}(S^0)$의 구성이 $F_n$의 호모토피 고정점만으로 이루어질 수 있는가?
• RQ4 프로파일 프로파일 $k$-국소 Galois 확장의 구조는 모든 부분군 $H$에 대해 $L_k(E^{hH})$의 통일된 구성법을 가능하게 하는가?
• RQ5 고정점 스펙트럼이 $H$에 의존하는 것을 제거하고, 보편적인 이산 $H$-스펙트럼으로 대체할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 열린 부분군 $U \leq G_n$에 대해 $E_n^{hU} \simeq (F_n)^{hU}$임을 보여, $K(n)$-국소 스펙트럼이 단일 이산 $G_n$-스펙트럼의 고정점으로 직접 유도됨을 보여준다.
• $F_n$은 이산 $G_n$-스펙트럼이며 $(F_n)^{hG_n} \simeq L_{K(n)}(S^0)$를 만족하여, $K(n)$-국소화 없이도 Hopkins-Miller 스펙트럼을 복원한다.
• 모든 닫힌 부분군 $H \leq G_n$에 대해, $(Z_{n,H})^{hH} \simeq E_n^{hH}$를 만족하는 이산 $H$-스펙트럼 $Z_{n,H}$가 존재하여, 각각의 $H$에 대해 통일된 구성법을 제공한다.
• 일관된 프로파일 프로파일 $k$-국소 프로파일 $G$-Galois 확장에서 유한한 vcd를 가지며, $L_k(E^{hH}) \simeq \left(\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)\right)^{hH}$임이 성립한다.
• 쌍대극한 $\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)$는 이산 $H$-스펙트럼이며, 그 $H$-호모토피 고정점은 추가 국소화 없이도 $L_k(E^{hH})$를 유도한다.
• 이 구성은 $L_k(-) = L_M(L_T(-))$를 만족하는 $k$-국소 프로파일 Galois 확장으로 일반화되며, $M$이 유한하고 $T$가 스매시 곱으로 표현 가능한 조건에서, 프로파일 프로파일성 조건 하에 결과가 성립한다.