[논문 리뷰] Occupation Time Fluctuations in Branching Systems

Don Dawson, Luis G. Gorostiza외 1명|ArXiv.org|2000. 05. 23.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 26인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 아벨 군 위에서 대칭 레비 과정을 통해 이동하고 임계 분열을 겪는 다수준 분열 입자 시스템에서의 점유 시간 변동성을 조사한다. 그린 잠재 연산자와 그 거듭제곱을 사용하여 변동한계를 도출한다: 유한 분산 분열의 경우 가우시안, 무한 분산 분열의 경우 스케일링된 분포를 얻는다. 이는 시간 적분된 셈그룹 $G_t$와 그 거듭제곱의 장기적 행동에 의해 지배되며, $α$-스케일링 레비 운동과 $c$-계층 랜덤 워크 사이에서 공통의 비산도 파라미터 $γ$를 통해 유사한 스케일링을 보인다. 주요 결과는 다양한 운동 유형 간의 비산도/재귀성과 변동 스케일링을 연결하는 통합 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We consider particle systems in locally compact Abelian groups with particles moving according to a process with symmetric stationary independent increments and undergoing one and two levels of critical branching. We obtain long time fluctuation limits for the occupation time process of the one-and two-level systems. We give complete results for the case of finite variance branching, where the fluctuation limits are Gaussian random fields, and partial results for an example of infinite variance branching, where the fluctuation limits are stable random fields. The asymptotics of the occupation time fluctuations are determined by the Green potential operator G of the individual particle motion and its powers $G^2, G^3$, and by the growth as $t o\infty$ of the operator $G_t=\int^t_0T_sds$ and its powers, where $T_t$ is the semigroup of the motion. The results are illustrated with two examples of motions: the symmetric $α$-stable Lévy process in $\erre^d$ $(0

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴 pact한 아벨 군에서 임계 분열 입자 시스템의 장기적 점유 시간 과정 변동성을 분석하기 위해.
• 그린 잠재 연산자 $G$와 그 거듭제곱 $G^2, G^3$를 통해 이러한 변동의 스케일링 한계를 규명하기 위해.
• 변동 한계가 유한 분산일 경우 가우시안(유한 분산), 무한 분산일 경우 스케일링된(무한 분산) 랜덤 필드가 되는 조건을 설정하기 위해.
• 대칭 $α$-스케일링 레비 과정과 $c$-계층 랜덤 워크라는 두 가지 다른 운동 유형 간의 점근적 행동을 비교하기 위해.
• 비산도/재귀성과 변동 스케일링을 둘 다 지배하는 공통의 순서 매개변수 $γ$를 규명하기 위해.

제안 방법

• 개별 입자 운동의 셈그룹 $T_t$ 를 사용하고, 시간 적분 연산자 $G_t = \int_0^t T_s ds$ 를 정의하며, 그 점근적 성장률이 변동 스케일링을 결정한다.
• 그린 잠재 연산자 $G$와 그 거듭제곱 $G^2, G^3$ 는 점유 시간 과정의 장거리 상관관계를 특성화하는 데 사용된다.
• 유한 분산 분열의 경우, 두 번째 모멘트 분석과 가우시안 랜덤 필드로의 수렴을 통해 변동 한계를 도출한다.
• 무한 분산 분열의 경우, 모멘트 조건과 약한 수렴 추론을 통해 한계가 스케일링된 랜덤 필드임을 보인다.
• 두 모델을 비교한다: $ω$-스케일링 레비 운동의 $ω^d$ 및 $c$-계층 랜덤 워크에서, 공통의 비산도 매개변수 $γ = d/\alpha - 1$ 와 $γ = \log c / \log(N/c)$ 를 각각 사용하여 비슷한 점근적 행동을 보인다.
• $c$-계층 랜덤 워크의 경우 진동의 역할을, 로그 시간 척도에서 $G_t$ 와 그 거듭제곱의 상세한 점근적 분석을 통해 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭적이고 독립 증분 운동을 갖는 일차 및 이차 수준 임계 분열 입자 시스템에서의 점유 시간 과정 변동 한계는 무엇인가?
• RQ2 시간 적분된 셈그룹 $G_t$ 와 그 거듭제곱의 점근적 행동이 점유 시간 변동의 스케일링을 어떻게 결정하는가?
• RQ3 그린 잠재 연산자 $G$ 와 그 거듭제곱 $G^2, G^3$ 는 한계 랜덤 필드를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $\alpha$-스케일링 레비 운동과 $c$-계층 랜덤 워크의 변동 행동는 서로 다른 기초 공간을 가짐에도 불구하고 어떻게 비교할 수 있는가?
• RQ5 $c$-계층 랜덤 워크에서의 진동은 $G_t$ 와 그 거듭제곱의 성장에 어떤 방식으로 영향을 미치는가?

주요 결과

• 유한 분산 분열의 경우, 점유 시간 변동 한계는 가우시안 랜덤 필드이며, $α$-스케일링 운동에서 $d=3$, $d=4$, $d>4$ 에 대해 각각 $t^{3/4}$, $(t\log t)^{1/2}$, $t^{1/2}$ 의 노름 상수를 갖는다.
• $c$-계층 랜덤 워크의 경우, $G_t$ 와 그 거듭제곱의 성장은 로그 시간 척도에서 진동을 보이며, 이는 변동 점근적 행동를 조절한다.
• 두 운동 유형의 비산도/재귀성 행동는 공통의 순서 매개변수 $γ$ 에 의해 지배된다: $γ = d/\alpha - 1$ 은 $α$-스케일링 운동에 대해, $γ = \log c / \log(N/c)$ 는 계층 랜덤 워크에 대해 각각 적용된다.
• 두 모델 모두에서 점유 시간 변동의 점근적 행동는 공통의 $γ$ 의 의존성 덕분에 유사하며, 서로 다른 기초 기하학적 성질에도 불구하고 같다.
• 무한 분산 분열의 경우, 변동 한계는 스케일링된 랜덤 필드이며, $G_t$ 와 그 거듭제곱의 성장에 의해 스케일링이 결정된다.
• 무한 시간 점유 시간 측도 $R_\infty^1$ 의 두 번째 및 세 번째 모멘트는 $G$ 와 그 반복 적분을 포함하는 명시적 표현으로 수렴하며, 이는 변동 한계의 수렴을 확인한다.