[논문 리뷰] Occupation times of refracted Lévy processes

Andreas E. Kyprianou, Juan Carlos Pardo외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 03.

Probability and Risk Models참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 한계 수준 b 이상일 때 선형 드리프트를 빼는 스펙트르 알리프티브 음성 레비 과정인 굴절 레비 과정의 점유 시간에 대한 명시적 항등식을 유도한다. 스케일 함수와 변동 이론을 사용하여, 흡수되거나 구간에서 탈출하기 이전의 b 이하에서 소비된 시간에 대한 라플라스 변환을 수립하며, 보험 리스크 분야의 파리시안 파산 및 배당 지급 모델과 관련된 결과를 확장한다.

ABSTRACT

A refracted Lévy process is a Lévy process whose dynamics change by subtracting off a fixed linear drift (of suitable size) whenever the aggregate process is above a pre-specified level. More precisely, whenever it exists, a refracted Lévy process is described by the unique strong solution to the stochastic differential equation \[ \ud U_t=-δ\mathbf{1}_{\{U_t&gt;b\}}\ud t +\ud X_t, \] where $X=(X_t, t\ge 0)$ is a Lévy process with law $\p$ and $b,δ\in \R$ such that the resulting process $U$ may visit the half line $(b,\infty)$ with positive probability. In this paper, we consider the case that $X$ is spectrally negative and establish a number of identities for the following functionals \[ \int_0^\infty\mathbf{1}_{\{U_t<b> a\}$ and $ρ^-_c=\inf\{t\ge 0: U_t&lt; c\}$ for $c<b></b></b>

연구 동기 및 목표

• 굴절 레비 과정의 점유 시간에 대한 정확한 분포 항등식, 특히 한계 수준 b 이하에서 소비된 시간을 유도하는 것.
• 최근의 파리시안 파산 및 배당 지급 모델에 관한 결과를 확장하기 위해, a 이상 또는 c 이하로의 첫 번째 통과 시간 이전의 점유 시간을 분석하는 것 (c < b < a).
• 스펙트르 음성 레비 과정에 대해 스케일 함수와 유크리-홉프 분해를 사용하여 점유 시간 기능의 라플라스 변환을 수립하는 것.
• 장기적으로 b 이하에 머무른 총 시간의 분포를 특성화하는 것, 특히 과정이 무한대로 드리프트하는 조건에서의 경우.
• 보험 리스크 및 금융 공학 분야에 적용 가능한 굴절 레비 과정에서 점유 시간에 대한 완전한 분석적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 굴절 레비 과정 U를 SDE dUt = dXt − δ1{Ut > b}dt의 해로 모델링하며, 여기서 X는 스펙트르 음성 레비 과정이다.
• X와 관련된 스케일 함수 W^{(θ)} 및 Z^{(θ)}를 사용하여 점유 시간 기능의 라플라스 변환을 도출한다.
• 유크리-홉프 분해 및 지수 기울임 기법을 사용하여 첫 번째 통과 시간 ρ⁺_a 및 ρ⁻_c를 분석한다.
• 지수 함수 항등식을 활용하여 점유 시간과 첫 번째 통과 시간의 공동 라플라스 변환을 유도한다.
• a → −∞ 및 c → ∞로의 극한을 취하여 무한 수평점에서의 점유 시간 분포를 복원한다.
• b 이하에 머무른 총 점유 시간의 밀도를 상승 라이더 높이 측도의 콘볼루션을 포함하는 급수 형태로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 굴절 과정이 처음으로 구간 (c,a)를 벗어나기 이전의 b 이하에서의 점유 시간에 대한 라플라스 변환은 무엇인가요?
• RQ2 과정이 흡수되거나 무한 시간 내에 흡수될 경우, b 이하에 머무른 총 시간의 분포는 어떻게 행동합니까?
• RQ3 장기적으로 b 이하에 머무른 점유 시간의 밀도는 명시적으로 어떻게 표현될 수 있으며, 특히 과정이 무한대로 드리프트하는 경우에 대해 어떻게 되나요?
• RQ4 기존의 파리시안 파산 및 보험 리스크 분야의 배당 지급 모델에 관한 결과들은 어떻게 확장되나요?
• RQ5 경계 a와 c가 ±∞로 갈수록 점유 시간 분포의 점근적 행동은 어떻게 되나요?

주요 결과

• ℙ_b 하에서 ∫₀^∞ 1{Ut < b} dt의 라플라스 변환은 (ψ′(0+)-δ)Φ(θ)/θ × 1/(1 − δΦ(θ)/θ)로 주어지며, 여기서 Φ는 상승 라이더 높이 과정의 라플라스 지수이다.
• b 이하에 머무른 총 점유 시간의 분포는 복합 기하 분포 혼합 형태이다: (ψ′(0+)/δ − 1) × ∑_{n≥1} δ^n μ^{*n}(dx), 여기서 μ는 라이더 높이 과정과 관련된 측도이다.
• b 이하에 머무른 점유 시간의 밀도는 0에 원자가 존재하며 크기는 (ψ′(0+)/δ − 1) × δa / (1 − δa)이다. 여기서 a는 상승 라이더 과정의 드리프트이다.
• c → ∞일 때, 점유 시간과 a 이상으로의 첫 번째 통과 시간의 공동 라플라스 변환은 W^{(θ)′}(b−a)/W^{(θ)}(b−a)를 포함하는 표현으로 수렴하며, 이는 정적 행동을 반영한다.
• a → −∞일 때, c에 도달하기 이전의 점유 시간 라플라스 변환은 W^{(θ)′}(c−b)/W^{(θ)}(c−b)로 수렴하며, 이는 스케일 함수 도함수 비율에 해당한다.
• 무한 수평점 점유 시간에 대한 항등식은 유계 및 비유계 변동 경로의 두 경우 모두 성립하며, 근사 및 극한 추론을 통해 확인되었다.