[논문 리뷰] Octal Bent Generalized Boolean Functions

Pante Stanica, Thor Martinsen|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 23.

Coding theory and cryptography참고 문헌 7인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $ℤ_2^n$ 에서 $ℤ_8$ 로의 팔진 일반화 벤트 함수(gbent)를 특성화하며, 짝수 및 홀수 $n$ 에 대한 명시적 구성법을 제공한다. 네 개의 특정 부울 함수가 벤트이면서 교차상관관계 조건을 만족할 경우, $\mathcal{GB}_{n+2}^8$ 에서 gbent 함수가 존재함을 증명하고, 대수적 분해와 월리스-하다마르트 변환 성질을 통해 새로운 구성법을 도출하며, 모든 입력에 대해 일반화된 월리스-하다마르트 변환이 단위 크기를 가짐을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we characterize (octal) bent generalized Boolean functions defined on $\BBZ_2^n$ with values in $\BBZ_8$. Moreover, we propose several constructions of such generalized bent functions for both $n$ even and $n$ odd.

연구 동기 및 목표

• 값이 $ℤ_8$ 인 일반화된 벤트 함수를 $ℤ_2^n$ 에서 특성화하기.
• 짝수 및 홀수 $n$ 에 대해 팔진 gbent 함수의 명시적 구성법을 제공하기.
• 그러한 gbent 함수의 존재를 위한 필수 및 필요조건을 부울 함수와 그 교차상관관계 조건을 포함하여 수립하기.
• 이론을 이진 사례를 초월하여 $ℤ_8$ 에서의 일반화된 월리스-하다마르트 변환을 분석함으로써 일반화된 벤트 함수 이론을 확장하기.

제안 방법

• 논문은 8제곱근 단위 $ζ = e^{2\pi i/8}$ 를 사용하여 정의된 $ℤ_8$ 에서의 일반화된 월리스-하다마르트 변환을 사용하여 $\mathcal{GB}_n^8$ 의 함수 스펙트럼 성질을 분석한다.
• 함수 $f: ℤ_2^n \to \mathbb{Z}_8$ 는 $f(\mathbf{x}) = a_0(\mathbf{x}) + 2a_1(\mathbf{x}) + 4a_2(\mathbf{x})$ 를 통해 부울 함수의 합으로 분해된다. 여기서 $a_i \in \mathcal{B}_n$ 이다.
• 핵심 방법은 일반화된 월리스-하다마르트 변환 $\mathcal{H}_f(\mathbf{u}) = 2^{-n/2} \sum_{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}_2^n} \zeta^{f(\mathbf{x})} (-1)^{\mathbf{u} \cdot \mathbf{x}}$ 를 계산하고, 모든 $\mathbf{u}$ 에 대해 $|\mathcal{H}_f(\mathbf{u})| = 1$ 이 되도록 요구하는 것이다.
• 변수 $y, z$ 와 매개변수 $\epsilon \in \{1, -1\}$ 을 포함하는 특정 이차형식과 함께 네 개의 벤트 부울 함수 $a, b, c, a\oplus b\oplus c$ 를 조합하여 $\mathcal{GB}_{n+2}^8$ 에서 새로운 gbent 함수를 구성한다.
• 복소수 노름과 수직성 성질을 활용하여, $f$ 가 gbent이기 위한 필요충분조건이 모든 $\mathbf{u}$ 에 대해 $W_{a\oplus c}(\mathbf{u})W_{b\oplus c}(\mathbf{u}) + \epsilon W_c(\mathbf{u})W_{a\oplus b\oplus c}(\mathbf{u}) = 0$ 이 성립함을 증명한다.
• 선형형식에 $\mathbb{Z}_8$ 의 계수를 포함하는 벤트 함수를 통합하여 $\mathcal{GB}_{n+1}^8$ 에서의 대체 구성법을 유도하며, 변환의 노름 보존 성질을 통해 gbent 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_8$ 가 gbent이 되기 위한 필수 및 필요조건은 무엇인가?
• RQ2 짝수 및 홀수 $n$ 에 대해 새로운 팔진 gbent 함수를 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 기초 부울 함수의 교차상관관계 성질이 일반화된 월리스-하다마르트 스펙트럼의 평탄성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $\mathcal{GB}_{n+2}^8$ 에서의 gbent 함수를 네 개의 벤트 부울 함수가 특정 수직 조건을 만족할 경우로 구성할 수 있는가?
• RQ5 $\mathbb{Z}_8$ 의 계수를 갖는 마지막 변수에 대해 선형인 함수일 경우, $\mathcal{GB}_{n+1}^8$ 의 gbent 함수의 스펙트럼 및 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $f \in \mathcal{GB}_{n+2}^8$ 이 $f(\mathbf{x}, y, z) = c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x})+1)y + (4b(\mathbf{x})+1)z + 2\epsilon yz$ 로 정의될 때, $c$, $a\oplus c$, $b\oplus c$, $a\oplus b\oplus c$ 가 모두 벤트이면서 모든 $\mathbf{u}$ 에 대해 $W_{a\oplus c}(\mathbf{u})W_{b\oplus c}(\mathbf{u}) + \epsilon W_c(\mathbf{u})W_{a\oplus b\oplus c}(\mathbf{u}) = 0$ 이 성립할 경우에만 gbent임을 증명한다.
• $f \in \mathcal{GB}_{n+1}^8$ 가 $f(\mathbf{x}, y) = 4c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x}) + 4c(\mathbf{x}) + 2\epsilon)y$ 로 정의될 때, 함수는 $a$ 와 $c$ 가 모두 벤트 부울 함수일 경우에만 gbent이다.
• $g \in \mathcal{GB}_{n+1}^8$ 가 $g(\mathbf{x}, y) = 4c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x}) + 2c(\mathbf{x}) + 2\epsilon)y$ 로 정의될 때, 함수는 $a$, $c$, $a\oplus c$ 가 모두 벤트일 경우 gbent이다.
• $h \in \mathcal{GB}_{n+1}^8$ 가 $h(\mathbf{x}, y) = 4c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x}) + 2\epsilon)y$ 로 정의될 때, 함수는 $c$ 와 $a\oplus c$ 가 모두 벤트일 경우에만 gbent이다.
• 논문은 $\mathcal{GB}_n^8$ 의 gbent 함수의 일반화된 월리스-하다마르트 변환의 모든 입력에서 단위 크기를 가짐을 증명한다. 즉, 모든 $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_2^n$ 에 대해 $|\mathcal{H}_f(\mathbf{u})| = 1$ 이다.
• 핵심 수직 조건 $W_{a\oplus c}(\mathbf{u})W_{b\oplus c}(\mathbf{u}) + \epsilon W_c(\mathbf{u})W_{a\oplus b\oplus c}(\mathbf{u}) = 0$ 의 해의 수는 정확히 8개이며, 이는 네 개의 자유도와 하나의 제약 조건에 해당한다.