[논문 리뷰] Octonion Algebra and Noise-Free Fully Homomorphic Encryption (FHE) Schemes

Yongge Wang|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 25.

Polynomial and algebraic computation인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한환 ℤₙ 상의 쿼aternion 및 옥토니언 대수를 기반으로 한, 노이즈가 없는 최초의 완전호환 암호화(FHE) 체계를 제안하며, 다변수 이차방정식 및 단변수 고차다항방정식 체계를 푸는 것의 난이도에 기반하여, 취약한 암호문 단독 모델에서의 보안을 달성한다. 이 체계는 부스팅 없이도 보증되며, 클라우드 환경에서 효율적인 기밀 보존 계산 및 오브스큐레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Brakerski showed that linearly decryptable fully homomorphic encryption (FHE) schemes cannot be secure in the chosen plaintext attack (CPA) model. In this paper, we show that linearly decryptable FHE schemes cannot be secure even in the ciphertext only security model. Then we consider the maximum security that a linearly decryptable FHE scheme could achieve. This paper designs fully homomorphic symmetric key encryption (FHE) schemes without bootstrapping (that is, noise-free FHE schemes). The proposed FHE schemes are based on quaternion/octonion algebra and Jordan algebra over finite rings Z_n and are secure in the weak ciphertext-only security model assuming the hardness of solving multivariate quadratic equation systems and solving univariate high degree polynomial equation systems in Z_n. It is up to our knowledge that this is the first noise-free FHE scheme that has ever been designed with a security proof (even in the weak ciphertext-only security model). It is argued that the weak ciphertext-only security model is sufficient for various applications such as privacy preserving computation in cloud. As an example, the proposed FHE schemes are used to construct obfuscated programs. This example could be further used to show that the scheme presented in this paper could be combined with existing FHE schemes with bootstrapping to obtain more efficient FHE schemes with bootstrapping in the fully CPA model. At the end of the paper, we point out the insecurity of several recently proposed noise-free FHE schemes.

연구 동기 및 목표

• 선형적으로 복호화 가능한 FHE 체계가 조건부 암호문 공격에 취약함에도 불구하고, 취약한 암호문 단독 모델에서도 보안을 확보할 수 있는지에 대해 도전적으로 기존의 가정을 재고한다.
• 부스팅 없이 노이즈 축적 없이도 효율성을 확보하는 완전호환 대칭키 암호화 체계를 설계한다.
• ℤₙ 상에서 다변수 이차방정식 및 단변수 고차다항방정식 체계를 푸는 것의 난이도에 기반한, 제안된 FHE 체계의 보안 증명을 수립한다.
• 오브스큐어레이션된 프로그램의 구축 및 기존 부스팅 기반 FHE 체계와의 잠재적 통합을 통해 실용적 적용 가능성을 입증한다.
• 최근 제안된 몇몇 노이즈 없는 FHE 체계의 취약점을 규명하고, 그들이 표준 보안 모델에서 실패하는 이유를 폭 드러낸다.

제안 방법

• 유한환 ℤₙ 상의 비결합 대수적 구조—쿼aternion 및 옥토니언 대수—를 활용하여 암호화 및 호환 연산을 구축한다.
• 완전호환 평가에 필요한 대수적 연산에서의 닫힘성과 안정성을 확보하기 위해 ℤₙ 상의 조르단 대수를 활용한다.
• 노이즈 증가 없이 직접 인코딩된 요소 위에서 호환 연산을 수행하는 대칭키 암호화 체계를 설계한다.
• ℤₙ 상에서 다변수 이차방정식 체계와 단변수 고차다항방정식 체계를 푸는 것의 계산 난이도를 보안 기반으로 한다.
• 암호문에서 평문에 대한 정보가 노출되지 않도록 보장함으로써, 암호문 단독 공격에 대해 보안을 확보하는 FHE 체계를 구성한다.
• 대수적 구조의 성질을 활용하여 노이즈 관리나 부스팅 없이도 호환 덧셈과 곱셈을 수행할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선택된 평문 공격에 취약한 선형적으로 복호화 가능한 FHE 체계가 취약한 암호문 단독 모델에서도 보안을 확보할 수 있는가?
• RQ2 유한환 ℤₙ 상에서 어떤 대수적 구조가 노이즈 없는 완전호환 암호화를 지지하고, 증명 가능한 보안을 제공할 수 있는가?
• RQ3 부스팅 없이도 표준 가정 하에 보존되는 완전호환 대칭키 암호화 체계를 구축하는 것은 가능한가?
• RQ4 ℤₙ 상의 옥토니언 및 조르단 대수는 어떻게 효율적이고 안전한 FHE 원천을 설계하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ5 최근 제안된 몇몇 노이즈 없는 FHE 체계에는 어떤 보안 결함이 있으며, 왜 표준 보안 모델에서 실패하는가?

주요 결과

• 제안된 FHE 체계는 취약한 암호문 단독 모델 조차도 형식적인 보안 증명이 가능한 최초의 노이즈 없는 완전호환 암호화 체계이다.
• 보안은 ℤₙ 상에서 다변수 이차방정식 체계와 단변수 고차다항방정식 체계를 푸는 것의 난이도에 기반하며, 구체적인 계산 난이도 가정을 제공한다.
• 체계는 암호문 단독 공격에 대해 보증되며, 클라우드 환경에서 기밀 보존 계산을 위한 약한 보안 모델이 충분할 수 있음을 보여준다.
• 오브스큐어레이션된 프로그램의 생성을 가능하게 하여, 순수 이론적 FHE를 넘어서 실용적 유용성을 입증한다.
• 최근 제안된 몇몇 노이즈 없는 FHE 체계는 실제로 보안이 취약하며, 설계 및 가정에 결함이 있음을 드러냈다.
• 기존의 부스팅 기반 FHE 체계와의 조합을 통해, 완전한 CPA-보안 모델에서 더 효율적인 FHE 시스템을 도출할 수 있다.